Etudier les variations avec la fonction $$x\mapsto e^{x}$$ - Exercice 3

Soit $$f\left(x\right)=3e^{x}-3x$$
Il vient alors que :

Nous savons que $$f'\left(x\right)=3e^{x}-3$$
Pour étudier le signe de $$f'$$, nous allons résoudre l'inéquation $$3e^{x}-3\ge 0$$ .
Ainsi :
$$3e^{x}-3\ge 0$$
$$3e^{x}\ge 3$$
$$e^{x}\ge \frac{3}{3}$$
$$e^{x}\ge 1$$
$$e^{x}\ge e^{0}$$
Ainsi : $$x\ge 0$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$3e^{x}-3$$ lorsque $$x$$ sera supérieur ou égale à $$0$$.
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]-\infty;0\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\le0$$ .
• si $$x\in\left[0;+\infty\right[$$ alors $$f'\left(x\right)\ge0$$ .

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de signe de $$f'$$ ci-dessous :

Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]-\infty;0\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\le0$$ et donc $$f$$ est décroissante sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[0;+\infty\right[$$ alors $$f'\left(x\right)\ge0$$ et donc $$f$$ est croissante sur cet intervalle.

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :