Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 3

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 2e^{x}} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -x-2 } & {=} & {-\infty } \end{array}\right\}$$ On rencontre ici une forme indéterminée.
Pour relever cette indétermination, factorisons par $$e^{x}$$.
Cela donne :
$$\lim\limits_{x\to +\infty } 2e^{x} -x-2 =\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x} \left(2-\frac{x}{e^{x} } -\frac{2}{e^{x} }\right).$$

On a alors :
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty }2-\frac{x}{e^{x} } -\frac{2}{e^{x} }} & {=} & {2} \end{array}\right\}{\text{par produit}}\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x} \left(2-\frac{x}{e^{x} } -\frac{2}{e^{x} }\right)=+\infty .$$
Finalement :

$$g$$ est dérivable sur $$\left]-\infty ;+\infty \right[$$ .
On a :
Résolvons l'inéquation :
$$2e^{x} -1 \ge 0$$ équivaut successivement à :
$$2e^{x} \ge 1$$
$$e^{x} \ge \frac{1}{2}$$
$$e^{x} \ge e^{\ln \left(\frac{1}{2} \right)}$$
$$x \ge \ln \left(\frac{1}{2} \right)$$
Cela signifie que $$2e^{x} -1 \ge 0$$ lorsque $$x \ge \ln \left(\frac{1}{2} \right)$$. Nous traduisons cela dans un tableau de variation, ainsi :
$$g\left(\ln \left(\frac{1}{2} \right)\right)=2e^{\ln \left(\frac{1}{2} \right)} -\ln \left(\frac{1}{2} \right)-2$$ ainsi $$g\left(\ln \left(\frac{1}{2} \right)\right)=2\times\frac{1}{2} -\ln \left(\frac{1}{2} \right)-2$$
d'où