Limites pour aller plus loin - Fonction exponentielle de base $e$ - Enseignement de spécialité

Question 1

${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{xe^{x} +1}{x}$

Correction

\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } xe^{x} +1} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } x} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\}

Dans cette situation, on ne peut pas conclure.
Nous allons donc modifier l'écriture initiale de la limite.
Il vient alors que :

{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{xe^{x} +1}{x} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{xe^{x} }{x} +\frac{1}{x}

{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{xe^{x} +1}{x} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} e^{x} +\frac{1}{x}

\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1}{x}} & {=} & {0} \end{array}\right\}

\text{\red{par somme}}

{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} e^{x} +\frac{1}{x}=+\infty

Finalement :

{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{xe^{x} +1}{x} =+\infty

Question 2

Correction

\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x} +x^{2}} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } x} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\}

Dans cette situation, on ne peut pas conclure.
Nous allons donc modifier l'écriture initiale de la limite.
Il vient alors que :

{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{e^{x} +x^{2} }{x} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{e^{x} }{x} +\frac{x^{2} }{x}

{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{e^{x} +x^{2} }{x} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{e^{x} }{x} +\frac{x\times x}{x}

{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{e^{x} +x^{2} }{x} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{e^{x} }{x} +x

Pour tout entier naturel

n

non nul, on a :

\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x}}{x^n } =+\infty

\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty }x} & {=} & { +\infty} \end{array}\right\}

\text{\red{par somme}}

{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{e^{x} }{x} +x=+\infty

Finalement :

{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{e^{x} +x^{2}}{x} =+\infty

Question 3

Correction

\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x} =0

\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } x^{3} +x+2} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } e^x} & {=} & {0} \end{array}\right\}

Dans cette situation, on ne peut pas conclure.
Nous allons donc modifier l'écriture initiale de la limite.
Il vient alors que :

{\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \left(x^{3} +x+2\right)e^{x} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} x^{3} e^{x} +{\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} xe^{x} +{\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} 2e^{x}

Pour tout entier naturel

n

non nul, on a :

\lim\limits_{x\to -\infty } x^ne^{x} =0

Ainsi :

\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } x^{3} e^{x}} & {=} & {0 } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty }x e^{x}} & {=} & { 0} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 2e^{x}} & {=} & { 0}\end{array}\right\}

\text{\red{par somme}}

{\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} x^{3} e^{x} +{\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} xe^{x} +{\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} 2e^{x}=0

Finalement :

{\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \left(x^{3} +x+2\right)e^{x}=0