Savoir déterminer les limites de la forme lim⁡x→+∞ekx\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{kx} et lim⁡x→−∞ekx\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } e^{kx} - Exercice 1

10 min
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Déterminer les limites suivantes :
Question 1

lim⁡x→+∞e2x\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{2x}

Correction
  • Soit kk un réel strictement positif (k>0)\left(k>0\right) alors lim⁡x→+∞ekx=+∞\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{kx} =+\infty et lim⁡x→−∞ekx=0\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } e^{kx} =0
  • Soit kk un réel strictement négatif (k<0)\left(k<0\right) alors lim⁡x→+∞ekx=0\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{kx} =0 et lim⁡x→−∞ekx=+∞\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } e^{kx} =+\infty
Ici, nous avons k=2k=2, il en résulte donc que :
lim⁡x→+∞e2x=+∞\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{2x} =+\infty

Question 2

lim⁡x→+∞e−5x\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{-5x}

Correction
  • Soit kk un réel strictement positif (k>0)\left(k>0\right) alors lim⁡x→+∞ekx=+∞\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{kx} =+\infty et lim⁡x→−∞ekx=0\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } e^{kx} =0
  • Soit kk un réel strictement négatif (k<0)\left(k<0\right) alors lim⁡x→+∞ekx=0\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{kx} =0 et lim⁡x→−∞ekx=+∞\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } e^{kx} =+\infty
Ici, nous avons k=−5,  (k<0)k=-5,\;(k<0) , il en résulte donc que :
lim⁡x→+∞e−5x=0\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{-5x} =0

Question 3

lim⁡x→−∞e−2x\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } e^{-2x}

Correction
  • Soit kk un réel strictement positif (k>0)\left(k>0\right) alors lim⁡x→+∞ekx=+∞\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{kx} =+\infty et lim⁡x→−∞ekx=0\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } e^{kx} =0
  • Soit kk un réel strictement négatif (k<0)\left(k<0\right) alors lim⁡x→+∞ekx=0\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{kx} =0 et lim⁡x→−∞ekx=+∞\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } e^{kx} =+\infty
Ici, nous avons k=−2,  (k<0)k=-2,\;(k<0) , il en résulte donc que :
lim⁡x→−∞e−2x=+∞\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } e^{-2x} =+\infty

Question 4

lim⁡x→+∞e−6x\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{-6x}

Correction
  • Soit kk un réel strictement positif (k>0)\left(k>0\right) alors lim⁡x→+∞ekx=+∞\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{kx} =+\infty et lim⁡x→−∞ekx=0\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } e^{kx} =0
  • Soit kk un réel strictement négatif (k<0)\left(k<0\right) alors lim⁡x→+∞ekx=0\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{kx} =0 et lim⁡x→−∞ekx=+∞\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } e^{kx} =+\infty
Ici, nous avons k=−6,  (k<0)k=-6,\;(k<0) , il en résulte donc que :
lim⁡x→+∞e−6x=0\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{-6x} =0

Question 5

lim⁡x→+∞e−6x+2x\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{-6x}+2x

Correction
  • Soit kk un réel strictement positif (k>0)\left(k>0\right) alors lim⁡x→+∞ekx=+∞\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{kx} =+\infty et lim⁡x→−∞ekx=0\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } e^{kx} =0
  • Soit kk un réel strictement négatif (k<0)\left(k<0\right) alors lim⁡x→+∞ekx=0\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{kx} =0 et lim⁡x→−∞ekx=+∞\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } e^{kx} =+\infty
  • Calculons dans un premier temps la limite de e−6xe^{-6x}
    • Ici, nous avons k=−6,  (k<0)k=-6,\;(k<0) , il en résulte donc que :
    lim⁡x→+∞e−6x=0\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{-6x} =0
  • Calculons dans un premier temps la limite de 2x2x
    • lim⁡x→+∞2x=+∞\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } 2x =+\infty
  • On peut donc conclure que :
    • lim⁡x→+∞e−6x=0lim⁡x→+∞2x=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } e^{-6x}} & {=} & {0} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 2x} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\} par somme\text{\red{par somme}}
    lim⁡x→+∞e−6x+2x=+∞\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{-6x} +2x=+\infty

    Question 6

    lim⁡x→−∞e−9x−7x\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } e^{-9x}-7x

    Correction
    • Soit kk un réel strictement positif (k>0)\left(k>0\right) alors lim⁡x→+∞ekx=+∞\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{kx} =+\infty et lim⁡x→−∞ekx=0\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } e^{kx} =0
    • Soit kk un réel strictement négatif (k<0)\left(k<0\right) alors lim⁡x→+∞ekx=0\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{kx} =0 et lim⁡x→−∞ekx=+∞\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } e^{kx} =+\infty
  • Calculons dans un premier temps la limite de e−9xe^{-9x}
    • Ici, nous avons k=−9,  (k<0)k=-9,\;(k<0) , il en résulte donc que :
    lim⁡x→−∞e−9x=+∞\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } e^{-9x} =+\infty
  • Calculons dans un premier temps la limite de −7x-7x
    • lim⁡x→−∞−7x=+∞\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } -7x =+\infty
  • On peut donc conclure que :
    • lim⁡x→−∞e−9x=+∞lim⁡x→−∞−7x=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } e^{-9x}} & {=} & {+\infty} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } -7x} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\} par somme\text{\red{par somme}}
    lim⁡x→−∞e−9x−7x=+∞\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } e^{-9x} -7x=+\infty
    Question 7

    lim⁡x→+∞e−6x+2x\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{-6x}+\frac{2}{x}

    Correction
    • Soit kk un réel strictement positif (k>0)\left(k>0\right) alors lim⁡x→+∞ekx=+∞\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{kx} =+\infty et lim⁡x→−∞ekx=0\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } e^{kx} =0
    • Soit kk un réel strictement négatif (k<0)\left(k<0\right) alors lim⁡x→+∞ekx=0\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{kx} =0 et lim⁡x→−∞ekx=+∞\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } e^{kx} =+\infty
  • Calculons dans un premier temps la limite de e−6xe^{-6x}
    • Ici, nous avons k=−6,  (k<0)k=-6,\;(k<0) , il en résulte donc que :
    lim⁡x→+∞e−6x=0\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{-6x} =0
  • Calculons dans un premier temps la limite de 2x\frac{2}{x}
    • Si on rencontre une forme Nombre∞\frac{\text{Nombre}}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.
    lim⁡x→+∞2x=0\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{2}{x} =0
  • On peut donc conclure que :
    • lim⁡x→+∞e−6x=0lim⁡x→+∞2x=0}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } e^{-6x}} & {=} & {0} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2}{x}} & {=} & {0} \end{array}\right\} par somme\text{\red{par somme}}
    lim⁡x→+∞e−6x+2x=0\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{-6x} +\frac{2}{x}=0

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