Savoir déterminer les limites de la forme lim⁡x→+∞ekx\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{kx} et lim⁡x→−∞ekx\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } e^{kx} - Exercice 2

6 min
20
Déterminer les limites suivantes :
Question 1

lim⁡x→+∞e−x+8x\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{-x}+8x

Correction
  • Soit kk un réel strictement positif (k>0)\left(k>0\right) alors lim⁡x→+∞ekx=+∞\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{kx} =+\infty et lim⁡x→−∞ekx=0\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } e^{kx} =0
  • Soit kk un réel strictement négatif (k<0)\left(k<0\right) alors lim⁡x→+∞ekx=0\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{kx} =0 et lim⁡x→−∞ekx=+∞\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } e^{kx} =+\infty
  • Calculons dans un premier temps la limite de e−xe^{-x}
    • Ici, nous avons k=−1,  (k<0)k=-1,\;(k<0) , il en résulte donc que :
    lim⁡x→+∞e−x=0\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{-x} =0
  • Calculons dans un premier temps la limite de 8x8x
    • lim⁡x→+∞8x=+∞\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } 8x =+\infty
  • On peut donc conclure que :
    • lim⁡x→+∞e−x=0lim⁡x→+∞8x=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } e^{-x}} & {=} & {0} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 8x} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\} par somme\text{\red{par somme}}
    lim⁡x→+∞e−x+8x=+∞\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{-x} +8x=+\infty

    Question 2

    lim⁡x→−∞e−3x−2x\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } e^{-3x}-2x

    Correction
    • Soit kk un réel strictement positif (k>0)\left(k>0\right) alors lim⁡x→+∞ekx=+∞\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{kx} =+\infty et lim⁡x→−∞ekx=0\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } e^{kx} =0
    • Soit kk un réel strictement négatif (k<0)\left(k<0\right) alors lim⁡x→+∞ekx=0\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{kx} =0 et lim⁡x→−∞ekx=+∞\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } e^{kx} =+\infty
  • Calculons dans un premier temps la limite de e−3xe^{-3x}
    • Ici, nous avons k=−3,  (k<0)k=-3,\;(k<0) , il en résulte donc que :
    lim⁡x→−∞e−3x=+∞\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } e^{-3x} =+\infty
  • Calculons dans un premier temps la limite de −2x-2x
    • lim⁡x→−∞−2x=+∞\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } -2x =+\infty
  • On peut donc conclure que :
    • lim⁡x→−∞e−3x=+∞lim⁡x→−∞−2x=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } e^{-3x}} & {=} & {+\infty} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } -2x} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\} par somme\text{\red{par somme}}
    lim⁡x→−∞e−3x−2x=+∞\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } e^{-3x} -2x=+\infty

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