Savoir déterminer les limites de la forme lim⁡x→+∞xnex\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } x^{n} e^{x} et de la forme lim⁡x→+∞exxn\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{n} } - Exercice 1

15 min
30
Déterminer les limites suivantes :
Question 1

lim⁡x→+∞exx2\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{2} }

Correction
    Soit nn un entier naturel non nul :
  • lim⁡x→+∞exxn=+∞\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{n} } =+\infty
  • lim⁡x→+∞xne−x=0\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } x^{n} e^{-x} =0
Ici, nous avons n=2n=2, il en résulte donc que :
lim⁡x→+∞exx2=+∞\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{2} } =+\infty

Question 2

lim⁡x→+∞x3e−x\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } x^{3} e^{-x}

Correction
    Soit nn un entier naturel non nul :
  • lim⁡x→+∞exxn=+∞\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{n} } =+\infty
  • lim⁡x→+∞xne−x=0\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } x^{n} e^{-x} =0
Ici, nous avons n=3n=3, il en résulte donc que :
lim⁡x→+∞x3e−x=0\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } x^{3} e^{-x} =0

Question 3

lim⁡x→+∞exx3+2x\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{3} }+2x

Correction
    Soit nn un entier naturel non nul :
  • lim⁡x→+∞exxn=+∞\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{n} } =+\infty
  • lim⁡x→+∞xne−x=0\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } x^{n} e^{-x} =0
1. Calculons dans un premier temps la limite de exx3{\color{blue}{\frac{e^{x} }{x^{3}}}}
Ici, nous avons n=3,  (n>0)n=3,\;(n>0) , il en résulte donc que :
lim⁡x→+∞exx3=+∞\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{3}} =+\infty

2. Calculons dans un second temps la limite de 2x{\color{blue}{2x}}
lim⁡x→+∞2x=+∞\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } 2x =+\infty
On peut donc conclure :
lim⁡x→+∞exx3=+∞lim⁡x→+∞2x=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{3}}} & {=} & {+\infty} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 2x} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\} par somme\text{\red{par somme}}
lim⁡x→+∞exx3+2x=+∞\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{3} }+2x=+\infty
Question 4

lim⁡x→+∞exx6−7\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{6} }-7

Correction
    Soit nn un entier naturel non nul :
  • lim⁡x→+∞exxn=+∞\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{n} } =+\infty
  • lim⁡x→+∞xne−x=0\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } x^{n} e^{-x} =0
1. Calculons dans un premier temps la limite de exx6{\color{blue}{\frac{e^{x} }{x^{6}}}}
Ici, nous avons n=6,  (n>0)n=6,\;(n>0) , il en résulte donc que :
lim⁡x→+∞exx6=+∞\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{6}} =+\infty

2. Calculons dans un second temps la limite de −7{\color{blue}{-7}}
lim⁡x→+∞−7=−7\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } -7 =-7
On peut donc conclure :
lim⁡x→+∞exx6=+∞lim⁡x→+∞−7=−7}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{6}}} & {=} & {+\infty} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -7} & {=} & {-7} \end{array}\right\} par somme\text{\red{par somme}}
lim⁡x→+∞exx6−7=+∞\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{6} }-7=+\infty
Question 5

lim⁡x→+∞x2e−x+7x\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } x^{2} e^{-x}+7x

Correction
    Soit nn un entier naturel non nul :
  • lim⁡x→+∞exxn=+∞\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{n} } =+\infty
  • lim⁡x→+∞xne−x=0\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } x^{n} e^{-x} =0
1. Calculons dans un premier temps la limite de x2e−x{\color{blue}{x^{2} e^{-x}}}
Ici, nous avons n=2,  (n>0)n=2,\;(n>0) , il en résulte donc que :
lim⁡x→+∞x2e−x=0\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } x^{2} e^{-x} =0

2. Calculons dans un second temps la limite de 7x{\color{blue}{7x}}
lim⁡x→+∞7x=+∞\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } 7x =+\infty
On peut donc conclure :
lim⁡x→+∞x2e−x=0lim⁡x→+∞7x=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } x^2e^{-x}} & {=} & {0} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 7x} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\} par somme\text{\red{par somme}}
lim⁡x→+∞x2e−x+7x=+∞\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } x^2e^{-x}+7x=+\infty

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