Savoir déterminer les limites de la forme lim⁡x→+∞xnex\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } x^{n} e^{x} et de la forme lim⁡x→+∞exxn\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{n} } - Exercice 2

15 min
30
Déterminer les limites suivantes :
Question 1

lim⁡x→+∞exx5+5x−10\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{5} }+5x-10

Correction
    Soit nn un entier naturel non nul :
  • lim⁡x→+∞exxn=+∞\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{n} } =+\infty
  • lim⁡x→+∞xne−x=0\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } x^{n} e^{-x} =0
1. Calculons dans un premier temps la limite de exx5{\color{blue}{\frac{e^{x} }{x^{5}}}}
Ici, nous avons n=5,  (n>0)n=5,\;(n>0) , il en résulte donc que :
lim⁡x→+∞exx5=+∞\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{5}} =+\infty

2. Calculons dans un second temps la limite de 5x−10{\color{blue}{5x-10}}
lim⁡x→+∞5x−10=+∞\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } 5x-10 =+\infty
On peut donc conclure :
lim⁡x→+∞exx5=+∞lim⁡x→+∞5x−10=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{5}}} & {=} & {+\infty} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 5x-10} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\} par somme\text{\red{par somme}}
lim⁡x→+∞exx5+5x−10=+∞\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{5} }+5x-10=+\infty
Question 2

lim⁡x→+∞exx3−1x\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{3} }-\frac{1}{x}

Correction
    Soit nn un entier naturel non nul :
  • lim⁡x→+∞exxn=+∞\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{n} } =+\infty
  • lim⁡x→+∞xne−x=0\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } x^{n} e^{-x} =0
1. Calculons dans un premier temps la limite de exx3{\color{blue}{\frac{e^{x} }{x^{3}}}}
Ici, nous avons n=3,  (n>0)n=3,\;(n>0) , il en résulte donc que :
lim⁡x→+∞exx3=+∞\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{3}} =+\infty

2. Calculons dans un second temps la limite de (−1x){\color{blue}{\left(-\frac{1}{x}\right)}}
  • Si on rencontre une forme Nombre∞\frac{\text{Nombre}}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.
lim⁡x→+∞−1x=0\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } -\frac{1}{x} =0
On peut donc conclure :
lim⁡x→+∞exx3=+∞lim⁡x→+∞−1x=0}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{3}}} & {=} & {+\infty} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -\frac{1}{x}} & {=} & {0} \end{array}\right\} par somme\text{\red{par somme}}
lim⁡x→+∞exx3−1x=+∞\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{3} }-\frac{1}{x}=+\infty
Question 3

lim⁡x→+∞−5exx2\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{-5e^{x} }{x^{2} }

Correction
    Soit nn un entier naturel non nul :
  • lim⁡x→+∞exxn=+∞\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{n} } =+\infty
  • lim⁡x→+∞xne−x=0\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } x^{n} e^{-x} =0
−5exx2=−5×exx2\frac{-5e^{x} }{x^{2}}=-5\times{\frac{e^{x} }{x^{2}}}
1. Calculons dans un premier temps la limite de exx2{\color{blue}{\frac{e^{x} }{x^{2}}}}
Ici, nous avons n=2,  (n>0)n=2,\;(n>0) , il en résulte donc que :
lim⁡x→+∞exx2=+∞\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{2}} =+\infty

2. Calculons dans un second temps la limite de −5{\color{blue}{-5}}
lim⁡x→+∞−5=−5\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } -5 =-5
On peut donc conclure :
lim⁡x→+∞exx2=+∞lim⁡x→+∞−5=−5}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{2}}} & {=} & {+\infty} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -5} & {=} & {-5} \end{array}\right\} par produit\text{\red{par produit}}
lim⁡x→+∞−5×exx2=−∞\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } -5\times\frac{e^{x} }{x^{2} }=-\infty
Question 4

lim⁡x→+∞−2x3e−x−8x+1\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } -2x^{3} e^{-x}-8x+1

Correction
    Soit nn un entier naturel non nul :
  • lim⁡x→+∞exxn=+∞\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{n} } =+\infty
  • lim⁡x→+∞xne−x=0\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } x^{n} e^{-x} =0
1. Calculons dans un premier temps la limite de x3e−x{\color{blue}{x^{3} e^{-x}}}
Ici, nous avons n=3,  (n>0)n=3,\;(n>0) , il en résulte donc que :
lim⁡x→+∞x3e−x\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } x^3e^{-x}=0 =0

2. Calculons dans un second temps la limite de −2{\color{blue}{-2}}
lim⁡x→+∞−2=−2\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } -2 =-2
On a donc :
lim⁡x→+∞x3e−x=0lim⁡x→+∞−2=−2}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } x^3e^{-x}} & {=} & {0} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -2} & {=} & {-2} \end{array}\right\} par produit\text{\red{par produit}}
lim⁡x→+∞−2x3e−x=0\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } -2x^3e^{-x}=0

3. Calculons dans un troisième temps la limite de −8x+1{\color{blue}{-8x+1}}
lim⁡x→+∞−8x+1=−∞\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } -8x+1 =-\infty
On peut donc conclure :
lim⁡x→+∞−2x3e−x=0lim⁡x→+∞−8x+1=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } -2x^3e^{-x}} & {=} & {0} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -8x+1} & {=} & {-\infty} \end{array}\right\} par somme\text{\red{par somme}}
lim⁡x→+∞−2x3e−x−8x+1=−∞\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } -2x^3e^{-x}-8x+1=-\infty

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