Savoir étudier le signe d'expressions avec des exponentielles - Exercice 2

$$f$$ est sous la forme d'un produit. Nous allons donc utiliser un tableau de signe.
Pour tout réel $$x$$, on a : $$e^{x}>0$$.
Dans la ligne $$x$$, nous mettrons le signe $$+$$ si $$x\ge 0$$ et nous mettrons le signe $$-$$ si $$x\le 0$$. Il en résulte donc que :

$$f$$ est sous la forme d'un produit. Nous allons donc utiliser un tableau de signe.
Pour tout réel $$x$$, on a : $$e^{x}>0$$. Il en est de même pour $$e^{-2x+1}$$ qui est strictement positif également car nous savons qu'une exponentielle est strictement positif c'est à dire $$e^{-2x+1}>0$$.
Comme $$2>0$$ alors $$2+e^{-2x+1}>0$$ $$\;\;\;$$Il en résulte donc que :

Pour tout réel $$x$$, on a $$e^{x} >0$$. Donc $$f$$ est alors du signe de $$x-5$$ .
Pour étudier le signe de $$x-5$$, nous allons résoudre l'inéquation suivante :
$$x-5\ge 0\Leftrightarrow x\ge 5$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$x-5$$ lorsque $$x$$ sera supérieur ou égale à $$5$$.
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]-\infty;5\right]$$ alors $$f\left(x\right)\le0$$ .
• si $$x\in\left[5;+\infty\right[$$ alors $$f\left(x\right)\ge0$$ .

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de signe ci-dessous :

Pour tout réel $$x$$, on a $$e^{x} >0$$. Donc $$f$$ est alors du signe de $$-2x-6$$ .
Pour étudier le signe de $$-2x-6$$, nous allons résoudre l'inéquation suivante :
$$-2x-6\ge 0$$
$$-2x\ge6$$
$$x\le\frac{6}{-2}$$ . Nous avons ici changé le sens de l'inéquation car nous avons divisé par un nombre négatif.
$$x\le-3$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$-2x-6$$ lorsque $$x$$ sera inférieur ou égale à $$-3$$.
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]-\infty;-3\right]$$ alors $$f\left(x\right)\ge0$$ .
• si $$x\in\left[-3;+\infty\right[$$ alors $$f\left(x\right)\le0$$ .

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de signe ci-dessous :

Pour tout réel $$x$$, on rappelle qu'une exponentielle est strictement positive ainsi : $$e^{2x+3} >0$$. Donc $$f$$ est alors du signe de $$4x-8$$ .
Pour étudier le signe de $$4x-8$$, nous allons résoudre l'inéquation suivante :
$$4x-8\ge 0$$
$$4x\ge8$$
$$x\ge2$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$4x-8$$ lorsque $$x$$ sera supérieur ou égale à $$2$$.
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]-\infty;2\right]$$ alors $$f\left(x\right)\le0$$ .
• si $$x\in\left[2;+\infty\right[$$ alors $$f\left(x\right)\ge0$$ .

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de signe ci-dessous :

Pour tout réel $$x$$, on rappelle qu'une exponentielle est strictement positive ainsi : $$e^{-x} >0$$. Donc $$f$$ est alors du signe de $$x-7$$ .
Pour étudier le signe de $$x-7$$, nous allons résoudre l'inéquation suivante :
$$x-7\ge 0\Leftrightarrow x\ge 7$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$x-7$$ lorsque $$x$$ sera supérieur ou égale à $$7$$.
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]-\infty;7\right]$$ alors $$f\left(x\right)\le0$$ .
• si $$x\in\left[7;+\infty\right[$$ alors $$f\left(x\right)\ge0$$ .

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de signe ci-dessous :

Pour tout réel $$x$$, on rappelle qu'une exponentielle est strictement positive ainsi : $$e^{-6x+2} >0$$.
Donc $$f$$ est alors du signe de $$-3x-18$$ .
Pour étudier le signe de $$-3x-18$$, nous allons résoudre l'inéquation suivante :
$$-3x-18\ge 0$$
$$-3x\ge18$$
$$x\le \frac{18}{-3}$$ . Nous avons ici changé le sens de l'inéquation car nous avons divisé par un nombre négatif.
$$x\le-6$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$-3x-18$$ lorsque $$x$$ sera inférieur ou égale à $$-6$$.
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]-\infty;-6\right]$$ alors $$f\left(x\right)\ge0$$ .
• si $$x\in\left[-6;+\infty\right[$$ alors $$f\left(x\right)\le0$$ .

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de signe ci-dessous :