Savoir résoudre des équations de la forme ex=ae^x=a - Exercice 1

15 min
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Résoudre dans R\mathbb{R} les équations suivantes :
Question 1

3ex+2=83e^x+2=8

Correction
3ex+2=83e^x+2=8 équivaut successivement à :
3ex=8−23e^x=8-2
3ex=63e^x=6
ex=63e^x=\frac{6}{3}
ex=2e^x=2 . On compose par la fonction logarithme népérien de part et d'autre du signe == .
    Soit aa un réel strictement positif
  • ex=a⟺ln⁡(ex)=ln⁡(a)⟺x=ln⁡(a)e^x=a\Longleftrightarrow \ln\left(e^x\right)=\ln\left(a\right)\Longleftrightarrow x=\ln\left(a\right)
ln⁡(ex)=ln⁡(2)\ln\left(e^x\right)=\ln\left(2\right)
Ainsi :
x=ln⁡(2)x=\ln\left(2\right)

Question 2

7ex−1=5ex+97e^x-1=5e^x+9

Correction
7ex−1=5ex+97e^x-1=5e^x+9 équivaut successivement à :
7ex−5ex=9+17e^x-5e^x=9+1
2ex=102e^x=10
ex=5e^x=5 . On compose par la fonction logarithme népérien de part et d'autre du signe == .
    Soit aa un réel strictement positif
  • ex=a⟺ln⁡(ex)=ln⁡(a)⟺x=ln⁡(a)e^x=a\Longleftrightarrow \ln\left(e^x\right)=\ln\left(a\right)\Longleftrightarrow x=\ln\left(a\right)
ln⁡(ex)=ln⁡(5)\ln\left(e^x\right)=\ln\left(5\right)
Ainsi :
x=ln⁡(5)x=\ln\left(5\right)

Question 3

e−2t=5e^{-2t}=5

Correction
    Soit aa un réel strictement positif
  • ex=a⟺ln⁡(ex)=ln⁡(a)⟺x=ln⁡(a)e^x=a\Longleftrightarrow \ln\left(e^x\right)=\ln\left(a\right)\Longleftrightarrow x=\ln\left(a\right)
e−2t=5e^{-2t}=5 équivaut successivement à :
ln⁡(e−2t)=ln⁡(5)\ln\left(e^{-2t}\right)=\ln\left(5\right)
−2t=ln⁡(5)-2t=\ln\left(5\right)
t=ln⁡(5)−2t=\frac{\ln\left(5\right)}{-2}
Ainsi :
t=−12ln⁡(5)t=-\frac{1}{2}\ln\left(5\right)

Question 4

5e−0,02t−3=05e^{-0,02t}-3=0

Correction
5e−0,02t−3=05e^{-0,02t}-3=0 équivaut successivement à :
5e−0,02t=35e^{-0,02t}=3
e−0,02t=35e^{-0,02t}=\frac{3}{5}
    Soit aa un réel strictement positif
  • ex=a⟺ln⁡(ex)=ln⁡(a)⟺x=ln⁡(a)e^x=a\Longleftrightarrow \ln\left(e^x\right)=\ln\left(a\right)\Longleftrightarrow x=\ln\left(a\right)
ln⁡(e−0,02t)=ln⁡(35)\ln\left(e^{-0,02t}\right)=\ln\left(\frac{3}{5}\right)
−0,02t=ln⁡(35)-0,02t=\ln\left(\frac{3}{5}\right)
t=ln⁡(35)−0,02t=\frac{\ln\left(\frac{3}{5}\right)}{-0,02}
Ainsi :
t=−ln⁡(35)0,02t=-\frac{\ln\left(\frac{3}{5}\right)}{0,02}

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