Dérivées de composées ln(u) - Exercice 1

La fonction $$f$$est définie si et seulement si $$4x+6>0\Leftrightarrow x>-\frac{3}{2}$$.
Ainsi le domaine de définition est $$Df=\left]-\frac{3}{2} ;+\infty \right[$$.
De plus le domaine de dérivabilité est le même intervalle que celui du domaine de définition. Ainsi $$f$$ est dérivable sur $$\left]-\frac{3}{2} ;+\infty \right[$$.
On reconnait la forme $$\left(\ln \left(u\right)\right)^{'} =\frac{u'}{u}$$
On a $$u\left(x\right)=4x+6$$ et $$u'\left(x\right)=4$$
Ainsi : $$f'\left(x\right)=2\times \frac{4}{4x+6} \Leftrightarrow$$

La fonction $$f$$ est définie si et seulement si $$x^{2} +1>0\Leftrightarrow x\in \mathbb{R}$$.
Ainsi le domaine de définition est $$Df=\left]-\infty ;+\infty \right[$$.
De plus le domaine de dérivabilité est le même intervalle que celui du domaine de définition. Ainsi $$f$$ est dérivable sur $$\left]-\infty ;+\infty \right[$$.
On reconnaît la forme $$\left(\ln \left(u\right)\right)^{'} =\frac{u'}{u}$$
On a $$u\left(x\right)=x^{2} +1$$ et $$u'\left(x\right)=2x$$
Ainsi

La fonction $$f$$est définie si et seulement si $$\ln \left(x\right)>0\Leftrightarrow \ln \left(x\right)>\ln \left(1\right)\Leftrightarrow x>1$$.
Ainsi le domaine de définition est $$Df=\left]1;+\infty \right[$$.
De plus le domaine de dérivabilité est le même intervalle que celui du domaine de définition. Ainsi $$f$$ est dérivable sur $$\left]1;+\infty \right[$$.
On reconnait la forme $$\left(\ln \left(u\right)\right)^{'} =\frac{u'}{u}$$
On a $$u\left(x\right)=\ln \left(x\right)$$ et $$u'\left(x\right)=\frac{1}{x}$$
Ainsi $$f'\left(x\right)=\frac{\left(\frac{1}{x} \right)}{\ln \left(x\right)} \Leftrightarrow$$

La fonction $$f$$est définie si et seulement si: $$\left\{\begin{array}{c} {x+1>0} \\ {\text{ et }} \\ {2x>0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x>-1} \\ {\text{ et }} \\ {x>0} \end{array}\right.$$
Ainsi le domaine de définition est
De plus le domaine de dérivabilité est le même intervalle que celui du domaine de définition. Ainsi $$f$$ est dérivable sur $$\left]0;+\infty \right[$$.
On reconnait la forme $$\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }$$ avec $$u\left(x\right)=\ln \left(x+1\right)$$ et $$v\left(x\right)=\ln \left(2x\right)$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=\frac{1}{x+1}$$ et $$v'\left(x\right)=\frac{2}{2x} =\frac{1}{x}$$.
Il vient alors que $$f'\left(x\right)=\frac{\frac{1}{x+1} \times \ln \left(2x\right)-\ln \left(x+1\right)\times \frac{1}{x} }{\left(\ln \left(2x\right)\right)^{2} } \Leftrightarrow$$

Comme pour tout réel $$x$$, on sait que $$e^{x} >0$$ et $$3x^{2} +1>0$$ .
La fonction $$f$$est définie si et seulement si $$e^{x} +3x^{2} +1>0\Leftrightarrow x\in \mathbb{R}$$.
Ainsi le domaine de définition est $$Df=\left]-\infty ;+\infty \right[$$.
De plus le domaine de dérivabilité est le même intervalle que celui du domaine de définition. Ainsi $$f$$ est dérivable sur $$\left]-\infty ;+\infty \right[$$.
On reconnait la forme $$\left(\ln \left(u\right)\right)^{'} =\frac{u'}{u}$$
On a $$u\left(x\right)=e^{x} +3x^{2} +1$$ et $$u'\left(x\right)=e^{x} +6x$$
Ainsi

La fonction $$f$$ est définie si et seulement si $$\frac{1}{x}>0\Leftrightarrow x\in \left]0;+\infty \right[$$.
Ainsi le domaine de définition est $$Df=\left]0;+\infty \right[$$.
De plus le domaine de dérivabilité est le même intervalle que celui du domaine de définition. Ainsi $$f$$ est dérivable sur $$\left]0;+\infty \right[$$.
On reconnaît la forme $$\left(\ln \left(u\right)\right)^{'} =\frac{u'}{u}$$
On a $$u\left(x\right)=\frac{1}{x}$$ et $$u'\left(x\right)=-\frac{1}{x^{2}}$$
D'où :
$$f'\left(x\right)=\frac{-\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x}}$$ . On multiplie par l'inverse du dénominateur :
$$f'\left(x\right)=-\frac{1}{x^{2} } \times \frac{x}{1}$$
Ainsi :

La fonction $$f$$est définie si et seulement si $$7x-14>0\Leftrightarrow 7x>14\Leftrightarrow x>\frac{14}{7}\Leftrightarrow x>2$$.
Ainsi le domaine de définition est $$Df=\left]2 ;+\infty \right[$$.
De plus le domaine de dérivabilité est le même intervalle que celui du domaine de définition. Ainsi $$f$$ est dérivable sur $$\left]2 ;+\infty \right[$$.
On reconnait la forme $$\left(\ln \left(u\right)\right)^{'} =\frac{u'}{u}$$
On a $$u\left(x\right)=7x-14$$ et $$u'\left(x\right)=7$$ .
Ainsi $$f'\left(x\right)=5\times \frac{7}{7x-14} \Leftrightarrow$$