Dérivées ln(x) - Fonction logarithme népérien - Enseignement de spécialité

Question 1

$f\left(x\right)=2\ln \left(x\right)+x+2$

Correction

\left(\ln \left(x\right)\right)^{'} =\frac{1}{x}

La fonction

f

est définie si et seulement si

x>0

. De plus

f

est dérivable sur

\left]0;+\infty \right[

.

f'\left(x\right)=\frac{2}{x} +1

On va mettre tout au même dénominateur.

f'\left(x\right)=\frac{2}{x} +\frac{1}{1}

f'\left(x\right)=\frac{2}{x} +\frac{1\times x}{1\times x}

f'\left(x\right)=\frac{2}{x} +\frac{x}{x}

Ainsi :

f'\left(x\right)=\frac{2+x}{x}

Question 2

$f\left(x\right)=9\ln \left(x\right)+\frac{4}{x} -5$

Correction

\left(\ln \left(x\right)\right)^{'} =\frac{1}{x}

f'\left(x\right)=\frac{9}{x} -\frac{4}{x^{2} }

On va mettre tout au même dénominateur.

f'\left(x\right)=\frac{9\times x}{x\times x} -\frac{4}{x^{2} }

f'\left(x\right)=\frac{9x}{xx^{2}} -\frac{4}{x^{2} }

Ainsi :

f'\left(x\right)=\frac{9x-4}{x^{2} }

Question 3

$f\left(x\right)=-5x+3\ln x-7$

Correction

\left(\ln \left(x\right)\right)^{'} =\frac{1}{x}

f'\left(x\right)=-5+\frac{3}{x}

On va mettre tout au même dénominateur.

f'\left(x\right)=\frac{-5}{1} +\frac{3}{x}

f'\left(x\right)=\frac{-5\times x}{1\times x} +\frac{3}{x}

f'\left(x\right)=\frac{-5x}{x} +\frac{3}{x}

Ainsi :

f'\left(x\right)=\frac{-5x+3}{x}

Question 4

$f\left(x\right)=x\ln \left(x\right)$

Correction

\left(\ln \left(x\right)\right)^{'} =\frac{1}{x}

Ici on reconnait la forme

\left(uv\right)'=u'v+uv'

avec

u\left(x\right)=x

et

v\left(x\right)=\ln \left(x\right)

.
Ainsi

u'\left(x\right)=1

et

v'\left(x\right)=\frac{1}{x}

.
Il vient alors que

f'\left(x\right)=1\times \ln \left(x\right)+x\times \frac{1}{x} \Leftrightarrow

f'\left(x\right)=\ln \left(x\right)+1

Question 5

$f\left(x\right)=\left(2x+3\right)\ln \left(x\right)$

Correction

\left(\ln \left(x\right)\right)^{'} =\frac{1}{x}

f'\left(x\right)=2\times \ln \left(x\right)+\left(2x+3\right)\times \frac{1}{x}

f'\left(x\right)=2\ln \left(x\right)+2x\times \frac{1}{x} +3\times \frac{1}{x}

f'\left(x\right)=2\ln \left(x\right)+\frac{2x}{x} +\frac{3}{x}

f'\left(x\right)=2\ln \left(x\right)+2+\frac{3}{x}

Question 6

$f\left(x\right)=\frac{\ln \left(x\right)}{2x+1}$

Correction

\left(\ln \left(x\right)\right)^{'} =\frac{1}{x}

Ici on reconnait la forme

\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }

avec

u\left(x\right)=\ln \left(x\right)

et

v\left(x\right)=2x+1

.
Ainsi

u'\left(x\right)=\frac{1}{x}

et

v'\left(x\right)=2

.
Il vient alors que

f'\left(x\right)=\frac{\frac{1}{x} \times \left(2x+1\right)-2\ln \left(x\right)}{\left(2x+1\right)^{2} } \Leftrightarrow

f'\left(x\right)=\frac{2+\frac{1}{x} -2\ln \left(x\right)}{\left(2x+1\right)^{2} }

Question 7

$f\left(x\right)=\frac{\ln \left(x\right)}{x}$

Correction

\left(\ln \left(x\right)\right)^{'} =\frac{1}{x}

Ici on reconnaît la forme :

\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }

avec

u\left(x\right)=\ln \left(x\right)

et

v\left(x\right)=x

.
Ainsi

u'\left(x\right)=\frac{1}{x}

et

v'\left(x\right)=1

.
Il vient alors que :

f'\left(x\right)=\frac{\frac{1}{x} \times x-\ln \left(x\right)}{x^{2} }

équivaut successivement à :

f'\left(x\right)=\frac{1-\ln \left(x\right)}{x^{2} }

Question 8

$f\left(x\right)=\frac{\ln \left(x\right)}{2x+1}$

Correction

\left(\ln \left(x\right)\right)^{'} =\frac{1}{x}

Ici on reconnaît la forme :

\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }

avec

u\left(x\right)=\ln \left(x\right)

et

v\left(x\right)=2x+1

.
Ainsi :

u'\left(x\right)=\frac{1}{x}

et

v'\left(x\right)=2

.
Il vient alors que :

f'\left(x\right)=\frac{\frac{1}{x} \times \left(2x+1\right)-2\ln \left(x\right)}{\left(2x+1\right)^{2} }

f'\left(x\right)=\frac{2+\frac{1}{x} -2\ln \left(x\right)}{\left(2x+1\right)^{2} }

Question 9

$f\left(x\right)=\left(2x^{2} +3\right)\ln \left(x\right)$

Correction

\left(\ln \left(x\right)\right)^{'} =\frac{1}{x}

Ici on reconnaît la forme :

\left(uv\right)'=u'v+uv'

avec

u\left(x\right)=2x^{2} +3

et

v\left(x\right)=\ln \left(x\right)

.
Ainsi :

u'\left(x\right)=4x

et

v'\left(x\right)=\frac{1}{x}

.
Il vient alors que :

f'\left(x\right)=4x\times \ln \left(x\right)+\left(2x^{2} +3\right)\times \frac{1}{x}

équivaut successivement à :

f'\left(x\right)=4x\ln \left(x\right)+2x^{2} \times \frac{1}{x} +3\times \frac{1}{x}

f'\left(x\right)=4x\ln \left(x\right)+\frac{2x^{2} }{x} +\frac{3}{x}

Ainsi :

f'\left(x\right)=4x\ln \left(x\right)+2x+\frac{3}{x}

Question 10

$f\left(x\right)=\ln \left(x\right)\left(\ln \left(x\right)-1\right)$

Correction

\left(\ln \left(x\right)\right)^{'} =\frac{1}{x}

Ici on reconnaît la forme :

\left(uv\right)'=u'v+uv'

avec

u\left(x\right)=\ln \left(x\right)

et

v\left(x\right)=\ln \left(x\right)-1

.
Ainsi

u'\left(x\right)=\frac{1}{x}

et

v'\left(x\right)=\frac{1}{x}

.
Il vient alors que :

f'\left(x\right)=\frac{1}{x} \times \left(\ln \left(x\right)-1\right)+\ln \left(x\right)\times \frac{1}{x}

équivaut successivement à :

f'\left(x\right)=\frac{\ln \left(x\right)-1}{x} +\frac{\ln \left(x\right)}{x}

Ainsi :

f'\left(x\right)=\frac{2\ln \left(x\right)-1}{x}

Question 11

$f\left(x\right)=\frac{\ln \left(x\right)}{x-\ln \left(x\right)}$ . On suppose que $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ que l'on ne cherchera pas à démontrer.

Correction

\left(\ln \left(x\right)\right)^{'} =\frac{1}{x}

Ici on reconnaît la forme :

\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }

avec

u\left(x\right)=\ln \left(x\right)

et

v\left(x\right)=x-\ln \left(x\right)

.
Ainsi :

u'\left(x\right)=\frac{1}{x}

et

v'\left(x\right)=1-\frac{1}{x}

.
Il vient alors que :

f'\left(x\right)=\frac{\frac{1}{x} \times \left(x-\ln \left(x\right)\right)-\ln \left(x\right)\times \left(1-\frac{1}{x} \right)}{\left(x-\ln \left(x\right)\right)^{2} }

f'\left(x\right)=\frac{\frac{1}{x} \times x+\frac{1}{x} \times \left(-\ln \left(x\right)\right)-\ln \left(x\right)-\ln \left(x\right)\times \left(-\frac{1}{x} \right)}{\left(x-\ln \left(x\right)\right)^{2} }

f'\left(x\right)=\frac{\frac{x}{x} -\frac{1}{x} \times \ln \left(x\right)-\ln \left(x\right)+\ln \left(x\right)\times \frac{1}{x} }{\left(x-\ln \left(x\right)\right)^{2} }

f'\left(x\right)=\frac{1-\frac{1}{x} \times \ln \left(x\right)-\ln \left(x\right)+\ln \left(x\right)\times \frac{1}{x} }{\left(x-\ln \left(x\right)\right)^{2} }

Ainsi :

f'\left(x\right)=\frac{1-\ln \left(x\right)}{\left(x-\ln \left(x\right)\right)^{2} }

Dérivées ln(x) - Exercice 1

f(x)=2ln⁡(x)+x+2f\left(x\right)=2\ln \left(x\right)+x+2f(x)=2ln(x)+x+2

f(x)=9ln⁡(x)+4x−5f\left(x\right)=9\ln \left(x\right)+\frac{4}{x} -5f(x)=9ln(x)+x4​−5

f(x)=−5x+3ln⁡x−7f\left(x\right)=-5x+3\ln x-7f(x)=−5x+3lnx−7

f(x)=xln⁡(x)f\left(x\right)=x\ln \left(x\right)f(x)=xln(x)

f(x)=(2x+3)ln⁡(x)f\left(x\right)=\left(2x+3\right)\ln \left(x\right)f(x)=(2x+3)ln(x)

f(x)=ln⁡(x)2x+1f\left(x\right)=\frac{\ln \left(x\right)}{2x+1} f(x)=2x+1ln(x)​

f(x)=ln⁡(x)xf\left(x\right)=\frac{\ln \left(x\right)}{x} f(x)=xln(x)​

f(x)=ln⁡(x)2x+1f\left(x\right)=\frac{\ln \left(x\right)}{2x+1} f(x)=2x+1ln(x)​

f(x)=(2x2+3)ln⁡(x)f\left(x\right)=\left(2x^{2} +3\right)\ln \left(x\right)f(x)=(2x2+3)ln(x)

f(x)=ln⁡(x)(ln⁡(x)−1)f\left(x\right)=\ln \left(x\right)\left(\ln \left(x\right)-1\right)f(x)=ln(x)(ln(x)−1)

f(x)=ln⁡(x)x−ln⁡(x)f\left(x\right)=\frac{\ln \left(x\right)}{x-\ln \left(x\right)}f(x)=x−ln(x)ln(x)​ . On suppose que fff est dérivable sur un intervalle III que l'on ne cherchera pas à démontrer.

$f\left(x\right)=2\ln \left(x\right)+x+2$

$f\left(x\right)=9\ln \left(x\right)+\frac{4}{x} -5$

$f\left(x\right)=-5x+3\ln x-7$

$f\left(x\right)=x\ln \left(x\right)$

$f\left(x\right)=\left(2x+3\right)\ln \left(x\right)$

$f\left(x\right)=\frac{\ln \left(x\right)}{2x+1}$

$f\left(x\right)=\frac{\ln \left(x\right)}{x}$

$f\left(x\right)=\frac{\ln \left(x\right)}{2x+1}$

$f\left(x\right)=\left(2x^{2} +3\right)\ln \left(x\right)$

$f\left(x\right)=\ln \left(x\right)\left(\ln \left(x\right)-1\right)$

$f\left(x\right)=\frac{\ln \left(x\right)}{x-\ln \left(x\right)}$ . On suppose que $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ que l'on ne cherchera pas à démontrer.