Exercices types : 2ème partie - Exercice 3

On reconnait la forme $$\left(\ln \left(u\right)\right)^{'} =\frac{u'}{u}$$
On a $$u\left(x\right)=1+e^{-x}$$ et $$u'\left(x\right)=-e^{-x}$$
Ainsi
Or pour tout réel $$x\in \left]-\infty ;+\infty \right[$$, on sait que $$1+e^{-x} >0$$ et que $$-e^{-x} <0$$.
De ce fait, $$f'$$ est strictement négative donc $$f$$ est strictement décroissante sur $$\left]-\infty ;+\infty \right[$$
On en déduit le tableau de variation donné ci-dessous :

Pour tout nombre réel $$x$$, on a $$f\left(x\right)=\ln \left(1+e^{-x} \right)$$.
On va factoriser l'expression $$1+e^{-x}$$ par $$e^{-x}$$.
Il vient alors que :
$$1+e^{-x} =e^{-x} \left(\frac{1+e^{-x} }{e^{-x} } \right)$$
$$1+e^{-x} =e^{-x} \left(\frac{1}{e^{-x} } +\frac{e^{-x} }{e^{-x} } \right)$$
$$1+e^{-x} =e^{-x} \left(\frac{1}{e^{-x} } +1\right)$$
$$1+e^{-x} =e^{-x} \left(e^{x} +1\right)$$
On substitue cela dans l'expression de $$f$$.
D'où : $$f\left(x\right)=\ln \left(1+e^{-x} \right)\Leftrightarrow f\left(x\right)=\ln \left(e^{-x} \left(e^{x} +1\right)\right)\Leftrightarrow f\left(x\right)=\ln \left(e^{-x} \right)+\ln \left(e^{x} +1 \right)$$
Comme $$f\left(x\right)=\ln \left(e^{-x} \right)+\ln \left(e^{x} +1 \right)$$ alors