Limites - Exercice 1

25 min
35
Déterminer la valeur des limites suivantes.
Question 1

lim⁡x→+∞ln⁡(x)+x+1\lim\limits_{x\to +\infty } \ln \left(x\right)+x+1

Correction
lim⁡x→+∞ln⁡(x)=+∞lim⁡x→+∞x+1=+∞}par addition\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } \ln \left(x\right)} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } x+1} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}{\text{par addition}}
lim⁡x→+∞ln⁡(x)+x+1=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } \ln \left(x\right)+x+1=+\infty
Question 2

lim⁡x→+∞ln⁡(x)−x+1\lim\limits_{x\to +\infty } \ln \left(x\right)-x+1

Correction
lim⁡x→+∞ln⁡(x)=+∞lim⁡x→+∞−x+1=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } \ln \left(x\right)} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -x+1} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\}
Nous rencontrons une forme indéterminée.
Pour relever cette indétermination, on va factoriser par xx.
lim⁡x→+∞ln⁡(x)−x+1=lim⁡x→+∞x(ln⁡(x)x−1+1x)\lim\limits_{x\to +\infty } \ln \left(x\right)-x+1=\lim\limits_{x\to +\infty } x\left(\frac{\ln \left(x\right)}{x} -1+\frac{1}{x} \right)
lim⁡x→+∞x=+∞lim⁡x→+∞ln⁡(x)x−1+1x=−1}par produit\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } x} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\ln \left(x\right)}{x} -1+\frac{1}{x} } & {=} & {-1} \end{array}\right\}{\text{par produit}}
lim⁡x→+∞x(ln⁡(x)x−1+1x)=−∞\lim\limits_{x\to +\infty } x\left(\frac{\ln \left(x\right)}{x} -1+\frac{1}{x} \right)=-\infty

lim⁡x→+∞ln⁡(x)x=0\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\ln \left(x\right)}{x} =0

Finalement
lim⁡x→+∞ln⁡(x)−x+1=−∞\lim\limits_{x\to +\infty } \ln \left(x\right)-x+1=-\infty
Question 3

lim⁡x→0+ln⁡(x)x+x+1\lim\limits_{x\to 0^{+} } \frac{\ln \left(x\right)}{x} +x+1

Correction
lim⁡x→0+ln⁡(x)x=−∞lim⁡x→0+x+1=1}par somme\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to 0^{+} } \frac{\ln \left(x\right)}{x} } & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to 0^{+} } x+1} & {=} & {1} \end{array}\right\}{\text{par somme}}
lim⁡x→0+ln⁡(x)x+x+1=−∞\lim\limits_{x\to 0^{+} } \frac{\ln \left(x\right)}{x} +x+1=-\infty
lim⁡x→0+ln⁡(x)x=−∞\lim\limits_{x\to 0^{+} } \frac{\ln \left(x\right)}{x} =-\infty
Il en résulte que la courbe représentative de la fonction ff admet une asymptote verticale d'équation x=0x=0 .
Question 4

lim⁡x→0+ln⁡(x)+2x+4\lim\limits_{x\to 0^{+} } \ln \left(x\right)+2x+4

Correction
lim⁡x→0+ln⁡(x)=−∞lim⁡x→0+2x+4=4}par somme\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to 0^{+} } \ln \left(x\right)} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to 0^{+} } 2x+4} & {=} & {4} \end{array}\right\}{\text{par somme}}
lim⁡x→0+ln⁡(x)+2x+4=−∞\lim\limits_{x\to 0^{+} } \ln \left(x\right)+2x+4=-\infty

Il en résulte que la courbe représentative de la fonction ff admet une asymptote verticale d'équation x=0x=0 .
Question 5

lim⁡x→0+xln⁡(x)−x2+4x\lim\limits_{x\to 0^{+} } x\ln \left(x\right)-x^{2} +4x

Correction
lim⁡x→0+xln⁡(x)=0lim⁡x→0+−x2+4x=0}par somme\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to 0^{+} } x\ln \left(x\right)} & {=} & {0} \\ {\lim\limits_{x\to 0^{+} } -x^{2} +4x} & {=} & {0} \end{array}\right\}{\text{par somme}}
lim⁡x→0+ln⁡(x)+2x+4=0\lim\limits_{x\to 0^{+} } \ln \left(x\right)+2x+4=0
lim⁡x→0+xln⁡(x)=0\lim\limits_{x\to 0^{+} } x\ln \left(x\right)=0
Question 6

lim⁡x→+∞(ln⁡(x)−1)(−ln⁡(x)+2)\lim\limits_{x\to +\infty } \left(\ln \left(x\right)-1\right)\left(-\ln \left(x\right)+2\right)

Correction
lim⁡x→+∞ln⁡(x)−1=+∞lim⁡x→+∞−ln⁡(x)+2=−∞}par produit\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } \ln \left(x\right)-1} & {=} & {+\infty} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -\ln \left(x\right)+2} & {=} & {-\infty} \end{array}\right\}{\text{par produit}}
lim⁡x→+∞(ln⁡(x)−1)(−ln⁡(x)+2)=−∞\lim\limits_{x\to +\infty } \left(\ln \left(x\right)-1\right)\left(-\ln \left(x\right)+2\right)=-\infty
Question 7

lim⁡x→0+4ln⁡(x)−5x+7 \lim\limits_{x\to 0^{+} } 4\ln \left(x\right)-\frac{5}{x}+7

Correction
  • lim⁡x→0+ln⁡(x)=−∞\lim\limits_{x\to 0^{+} } \ln \left(x\right)=-\infty
    • lim⁡x→0+4ln⁡(x)=−∞lim⁡x→0+−5x+7=−∞}par somme\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to 0^{+} } 4\ln \left(x\right)} & {=} & {-\infty} \\ {\lim\limits_{x\to 0^{+} } -\frac{5}{x}+7} & {=} & {-\infty} \end{array}\right\}{\text{par somme}}
    lim⁡x→0+4ln⁡(x)−5x+7=−∞ \lim\limits_{x\to 0^{+} } 4\ln \left(x\right)-\frac{5}{x}+7=-\infty

    Il en résulte que la courbe représentative de la fonction ff admet une asymptote verticale d'équation x=0x=0 .
    Question 8

    lim⁡x→+∞ln⁡(x)+2x+5x\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\ln \left(x\right)+2x+5}{x}

    Correction
  • lim⁡x→+∞ln⁡(x)x=0\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\ln \left(x\right)}{x} =0
    • lim⁡x→+∞ln⁡(x)+2x+5=+∞lim⁡x→+∞x=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } \ln \left(x\right)+2x+5} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } x} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} Nous rencontrons une forme indéterminée.
    Nous allons décomposer
    lim⁡x→+∞ln⁡(x)+2x+5x=lim⁡x→+∞ln⁡(x)x+2xx+5x\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\ln \left(x\right)+2x+5}{x}=\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\ln \left(x\right)}{x}+\frac{2x}{x}+\frac{5}{x}
    lim⁡x→+∞ln⁡(x)+2x+5x=lim⁡x→+∞ln⁡(x)x+2+5x\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\ln \left(x\right)+2x+5}{x}=\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\ln \left(x\right)}{x}+2+\frac{5}{x}
    Il en résulte donc que :
    lim⁡x→+∞ln⁡(x)x=0lim⁡x→+∞2+5x=2}par somme\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\ln \left(x\right)}{x}} & {=} & {0 } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 2+\frac{5}{x}} & {=} & {2} \end{array}\right\}{\text{par somme}}
    lim⁡x→+∞ln⁡(x)x+2+5x=2\lim\limits_{x\to +\infty }\frac{\ln \left(x\right)}{x}+2+\frac{5}{x}=2

    Il en résulte que la courbe représentative de la fonction ff admet une asymptote horizontale d'équation x=2x=2 .
    Question 9

    lim⁡x→0+2x(3−5ln⁡(x))\lim\limits_{x\to 0^{+} } 2x\left(3-5\ln \left(x\right)\right)

    Correction
    lim⁡x→0+2x=0lim⁡x→0+3−5ln⁡(x)=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to 0^{+} } 2x} & {=} & {0} \\ {\lim\limits_{x\to 0^{+} }3-5\ln \left(x\right)} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} Nous rencontrons une forme indéterminée.
    Nous allons développer l'expression :
    lim⁡x→0+2x(3−5ln⁡(x))=lim⁡x→0+6x−10xln⁡(x)\lim\limits_{x\to 0^{+} } 2x\left(3-5\ln \left(x\right)\right)= \lim\limits_{x\to 0^{+}} 6x-10x\ln \left(x\right)

    lim⁡x→0+xln⁡(x)=0\lim\limits_{x\to 0^{+} } x\ln \left(x\right)=0
    lim⁡x→0+6x=0lim⁡x→0+−10xln⁡(x)=0}par somme\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to 0^{+} } 6x} & {=} & {0} \\ {\lim\limits_{x\to 0^{+} } -10x\ln \left(x\right)} & {=} & {0} \end{array}\right\}{\text{par somme}}
    lim⁡x→0+2x(3−5ln⁡(x))=0\lim\limits_{x\to 0^{+} } 2x\left(3-5\ln \left(x\right)\right)=0

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