Limites - Exercice 2

25 min
40
Question 1
Déterminer la valeur des limites suivantes.

lim⁡x→1+ln⁡(2x−2)\lim\limits_{x\to 1^{+}} \ln \left(2x-2\right)

Correction
Ici, il s'agit d'une limite par composition.
On commence par calculer lim⁡x→1+2x−2=0+\lim\limits_{x\to 1^{+}} 2x-2=0^{+}. Le tableau de signe ci-dessous nous explique pourquoi lim⁡x→1+2x−2=0+\lim\limits_{x\to 1^{+}} 2x-2=0^{+}
On pose X=2x−2X=2x-2.
Ainsi : lim⁡X→0+ln⁡(X)=−∞\lim\limits_{X\to 0^{+} } \ln \left(X\right) =-\infty.
Par composition :
lim⁡x→1+ln⁡(2x−2)=−∞\lim\limits_{x\to 1^{+}} \ln \left(2x-2\right) =-\infty
Question 2

lim⁡x→−2+ln⁡(8x+16)\lim\limits_{x\to -2^{+}} \ln \left(8x+16\right)

Correction
Ici, il s'agit d'une limite par composition.
On commence par calculer lim⁡x→−2+8x+16=0+\lim\limits_{x\to -2^{+}} 8x+16=0^{+}. Le tableau de signe ci-dessous nous explique pourquoi lim⁡x→−2+8x+16=0+\lim\limits_{x\to -2^{+}} 8x+16=0^{+}
On pose X=8x+16X=8x+16.
Ainsi : lim⁡X→0+ln⁡(X)=−∞\lim\limits_{X\to 0^{+} } \ln \left(X\right) =-\infty.
Par composition :
lim⁡x→−2+ln⁡(8x+16)=−∞\lim\limits_{x\to -2^{+}} \ln \left(8x+16\right) =-\infty

Question 3

lim⁡x→−∞ln⁡(2−5x)\lim\limits_{x\to -\infty } \ln \left(2-5x\right)

Correction
Ici, il s'agit d'une limite par composition.
On commence par calculer lim⁡x→−∞2−5x=+∞\lim\limits_{x\to -\infty } 2-5x=+\infty.
On pose X=2−5xX=2-5x.
Ainsi : lim⁡X→+∞ln⁡(X)=+∞\lim\limits_{X\to +\infty } \ln \left(X\right) =+\infty.
Par composition :
lim⁡x→−∞ln⁡(2−5x)=+∞\lim\limits_{x\to -\infty } \ln \left(2-5x\right) =+\infty

Question 4

lim⁡x→−∞ln⁡(1+1x2)\lim\limits_{x\to -\infty } \ln \left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)

Correction
Ici, il s'agit d'une limite par composition.
On commence par calculer lim⁡x→−∞1+1x2=1\lim\limits_{x\to -\infty } 1+\frac{1}{x^{2}}=1.
On pose X=1+1x2X=1+\frac{1}{x^{2}}.
Ainsi : lim⁡X→1ln⁡(X)=0\lim\limits_{X\to 1} \ln \left(X\right) =0.
Par composition :
lim⁡x→−∞ln⁡(1+1x2)=0\lim\limits_{x\to -\infty } \ln \left(1+\frac{1}{x^{2}}\right) =0

Question 5

lim⁡x→+∞ln⁡(1x)\lim\limits_{x\to +\infty } \ln \left(\frac{1}{x}\right)

Correction
Ici, il s'agit d'une limite par composition.
On commence par calculer lim⁡x→+∞1x=0+\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1}{x}=0^{+}.
On pose X=1xX=\frac{1}{x}.
Ainsi : lim⁡X→0+ln⁡(X)=−∞\lim\limits_{X\to 0^{+} } \ln \left(X\right) =-\infty.
Par composition :
lim⁡x→+∞ln⁡(1x)=−∞\lim\limits_{x\to +\infty } \ln \left(\frac{1}{x}\right) =-\infty

Question 6

lim⁡x→7−ln⁡(−x+7)\lim\limits_{x\to 7^{-}} \ln \left(-x+7\right)

Correction
Ici, il s'agit d'une limite par composition.
On commence par calculer lim⁡x→7−−x+7=0+\lim\limits_{x\to 7^{-}} -x+7=0^{+}. Le tableau de signe ci-dessous nous explique pourquoi lim⁡x→7−−x+7=0+\lim\limits_{x\to 7^{-}} -x+7=0^{+}
On pose X=−x+7X=-x+7.
Ainsi : lim⁡X→0+ln⁡(X)=−∞\lim\limits_{X\to 0^{+} } \ln \left(X\right) =-\infty.
Par composition :
lim⁡x→7−ln⁡(−x+7)=−∞\lim\limits_{x\to 7^{-}} \ln \left(-x+7\right) =-\infty
Question 7

lim⁡x→−∞ln⁡(x2)\lim\limits_{x\to -\infty } \ln \left(x^{2}\right)

Correction
Ici, il s'agit d'une limite par composition.
On commence par calculer lim⁡x→−∞x2=+∞\lim\limits_{x\to -\infty } x^{2}=+\infty.
On pose X=x2X=x^{2}.
Ainsi : lim⁡X→+∞ln⁡(X)=+∞\lim\limits_{X\to +\infty } \ln \left(X\right) =+\infty.
Par composition :
lim⁡x→−∞ln⁡(x2)=+∞\lim\limits_{x\to -\infty } \ln \left(x^{2}\right) =+\infty

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