Propriétés algébriques - Fonction logarithme népérien - Enseignement de spécialité

Question 1

$a\left(x\right)=\ln \left(2\right)+\ln \left(5\right)$

Correction

$\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)=\ln \left(a\times b\right)$
$\ln \left(a\right)-\ln \left(b\right)=\ln \left(\frac{a}{b} \right)$
$\ln \left(\frac{1}{a} \right)=-\ln \left(a\right)$
$\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)$
$\frac{1}{2} \ln \left(a\right)=\ln \left(\sqrt{a} \right)$
$e^{\ln a} =a$

a\left(x\right)=\ln \left(2\times 5\right)\Leftrightarrow

a\left(x\right)=\ln \left(10\right)

Question 2

$b\left(x\right)=\ln \left(3\right)-\ln \left(4\right)$

Correction

$\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)=\ln \left(a\times b\right)$
$\ln \left(a\right)-\ln \left(b\right)=\ln \left(\frac{a}{b} \right)$
$\ln \left(\frac{1}{a} \right)=-\ln \left(a\right)$
$\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)$
$\frac{1}{2} \ln \left(a\right)=\ln \left(\sqrt{a} \right)$
$e^{\ln a} =a$

b\left(x\right)=\ln \left(\frac{3}{4} \right)

Question 3

$c\left(x\right)=3\ln \left(2\right)+2\ln \left(3\right)-\frac{1}{2} \ln \left(9\right)$

Correction

$\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)=\ln \left(a\times b\right)$
$\ln \left(a\right)-\ln \left(b\right)=\ln \left(\frac{a}{b} \right)$
$\ln \left(\frac{1}{a} \right)=-\ln \left(a\right)$
$\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)$
$\frac{1}{2} \ln \left(a\right)=\ln \left(\sqrt{a} \right)$
$e^{\ln a} =a$

c\left(x\right)=3\ln \left(2\right)+2\ln \left(3\right)-\frac{1}{2} \ln \left(9\right)

équivaut successivement à

c\left(x\right)=\ln \left(2^{3} \right)+\ln \left(3^{2} \right)-\ln \left(\sqrt{9} \right)

c\left(x\right)=\ln \left(8\right)+\ln \left(9\right)-\ln \left(3\right)

c\left(x\right)=\ln \left(8\times9\right)-\ln \left(3\right)

c\left(x\right)=\ln \left(72\right)-\ln \left(3\right)

c\left(x\right)=\ln \left(\frac{72}{3} \right)

c\left(x\right)=\ln \left(24\right)

Question 4

$d\left(x\right)=e^{\ln 3} -e^{\ln 6}$

Correction

$\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)=\ln \left(a\times b\right)$
$\ln \left(a\right)-\ln \left(b\right)=\ln \left(\frac{a}{b} \right)$
$\ln \left(\frac{1}{a} \right)=-\ln \left(a\right)$
$\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)$
$\frac{1}{2} \ln \left(a\right)=\ln \left(\sqrt{a} \right)$
$e^{\ln a} =a$

d\left(x\right)=e^{\ln 3} -e^{\ln 6}\Leftrightarrow d\left(x\right)=3-6\Leftrightarrow

d\left(x\right)=-3

Question 5

$f\left(x\right)=\frac{e^{2+\ln \left(4\right)} }{e^{\ln 2} }$

Correction

$\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)=\ln \left(a\times b\right)$
$\ln \left(a\right)-\ln \left(b\right)=\ln \left(\frac{a}{b} \right)$
$\ln \left(\frac{1}{a} \right)=-\ln \left(a\right)$
$\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)$
$\frac{1}{2} \ln \left(a\right)=\ln \left(\sqrt{a} \right)$
$e^{\ln a} =a$

Ici on utilise également les règles sur les exponentielles

e^{a+b} =e^{a} \times e^{b}

f\left(x\right)=\frac{e^{2+\ln \left(4\right)} }{e^{\ln 2} }

équivaut successivement à

f\left(x\right)=\frac{e^{2} \times e^{\ln \left(4\right)} }{2}

f\left(x\right)=\frac{e^{2} \times 4}{2}

f\left(x\right)=2e^{2}

Question 6

$g\left(x\right)=e^{\ln \left(x+1\right)} e^{\ln \left(x\right)}$

Correction

$\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)=\ln \left(a\times b\right)$
$\ln \left(a\right)-\ln \left(b\right)=\ln \left(\frac{a}{b} \right)$
$\ln \left(\frac{1}{a} \right)=-\ln \left(a\right)$
$\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)$
$\frac{1}{2} \ln \left(a\right)=\ln \left(\sqrt{a} \right)$
$e^{\ln a} =a$

g\left(x\right)=e^{\ln \left(x+1\right)} e^{\ln \left(x\right)}

équivaut successivement à

g\left(x\right)=\left(x+1\right)\times \left(x\right)

g\left(x\right)=x^{2} +x

Question 7

$h\left(x\right)=\ln \left(3-\sqrt{5} \right)+\ln \left(3+\sqrt{5} \right)$

Correction

$\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)=\ln \left(a\times b\right)$
$\ln \left(a\right)-\ln \left(b\right)=\ln \left(\frac{a}{b} \right)$
$\ln \left(\frac{1}{a} \right)=-\ln \left(a\right)$
$\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)$
$\frac{1}{2} \ln \left(a\right)=\ln \left(\sqrt{a} \right)$
$e^{\ln a} =a$

h\left(x\right)=\ln \left(3-\sqrt{5} \right)+\ln \left(3+\sqrt{5} \right)

équivaut successivement à

h\left(x\right)=\ln \left(\left(3-\sqrt{5} \right)\times\left(3+\sqrt{5} \right)\right)

.
Ensuite il faut utiliser l'identité remarquable :

\left(a-b\right)\times \left(a-b\right)=a^{2}-b^{2}

h\left(x\right)=\ln \left(3^{2} -\left(\sqrt{5} \right)^{2} \right)

h\left(x\right)=\ln \left(9-5\right)

h\left(x\right)=\ln \left(4\right)

Propriétés algébriques - Exercice 1

a(x)=ln⁡(2)+ln⁡(5)a\left(x\right)=\ln \left(2\right)+\ln \left(5\right)a(x)=ln(2)+ln(5)

b(x)=ln⁡(3)−ln⁡(4)b\left(x\right)=\ln \left(3\right)-\ln \left(4\right)b(x)=ln(3)−ln(4)

c(x)=3ln⁡(2)+2ln⁡(3)−12ln⁡(9)c\left(x\right)=3\ln \left(2\right)+2\ln \left(3\right)-\frac{1}{2} \ln \left(9\right)c(x)=3ln(2)+2ln(3)−21​ln(9)

d(x)=eln⁡3−eln⁡6d\left(x\right)=e^{\ln 3} -e^{\ln 6} d(x)=eln3−eln6

f(x)=e2+ln⁡(4)eln⁡2f\left(x\right)=\frac{e^{2+\ln \left(4\right)} }{e^{\ln 2} } f(x)=eln2e2+ln(4)​

g(x)=eln⁡(x+1)eln⁡(x)g\left(x\right)=e^{\ln \left(x+1\right)} e^{\ln \left(x\right)} g(x)=eln(x+1)eln(x)

h(x)=ln⁡(3−5)+ln⁡(3+5)h\left(x\right)=\ln \left(3-\sqrt{5} \right)+\ln \left(3+\sqrt{5} \right)h(x)=ln(3−5​)+ln(3+5​)

$a\left(x\right)=\ln \left(2\right)+\ln \left(5\right)$

$b\left(x\right)=\ln \left(3\right)-\ln \left(4\right)$

$c\left(x\right)=3\ln \left(2\right)+2\ln \left(3\right)-\frac{1}{2} \ln \left(9\right)$

$d\left(x\right)=e^{\ln 3} -e^{\ln 6}$

$f\left(x\right)=\frac{e^{2+\ln \left(4\right)} }{e^{\ln 2} }$

$g\left(x\right)=e^{\ln \left(x+1\right)} e^{\ln \left(x\right)}$

$h\left(x\right)=\ln \left(3-\sqrt{5} \right)+\ln \left(3+\sqrt{5} \right)$