Calculs d'intégrales en utilisant des primitives - Exercice 1

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Il est impeˊratif d’avoir revu le chapitre des primitives pour appreˊhender sereinement les calculs d’inteˊgrales.\red{\text{Il est impératif d'avoir revu le chapitre des primitives pour appréhender sereinement les calculs d'intégrales.}}
Calculer les intégrales suivantes.
Question 1

I=∫01(2x+1)dxI=\int _{0}^{1}\left(2x+1\right)dx

Correction
  • Comment calculer l'intégrale I=∫abf(x)dxI=\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx
  • 1ère étape : on calcule une primitive de ff notée FF. On écrira ensuite I=[F(x)]abI=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}
  • 2ème étape : I=F(b)−F(a)I=F\left(b\right)-F\left(a\right) et on effectue le calcul numérique.
Soit : f(x)=2x+1f\left(x\right)=2x+1
Alors : F(x)=x2+xF\left(x\right)=x^{2} +x
Donc : I=[x2+x]01I=\left[x^{2} +x\right]_{0}^{1}
Il vient alors que :
I=[x2+x]01I=\left[x^{2} +x\right]_{0}^{1} équivaut successivement à :
I=F(1)−F(0)I=F\left(1\right)-F\left(0\right)
I=(12+1)−(02+0)I=\left(1^{2} +1\right)-\left(0^{2} +0\right)
I=2I=2
Finalement :
∫01(2x+1)dx=2\int _{0}^{1}\left(2x+1\right)dx=2

Question 2

I=∫−13(3x−2)dxI=\int _{-1}^{3}\left(3x-2\right)dx

Correction
  • Comment calculer l'intégrale I=∫abf(x)dxI=\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx
  • 1ère étape : on calcule une primitive de ff notée FF. On écrira ensuite I=[F(x)]abI=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}
  • 2ème étape : I=F(b)−F(a)I=F\left(b\right)-F\left(a\right) et on effectue le calcul numérique.
Soit : f(x)=3x−2f\left(x\right)=3x-2
Alors : F(x)=32x2−2xF\left(x\right)=\frac{3}{2}x^{2} -2x
Donc : I=[32x2−2x]−13I=\left[\frac{3}{2}x^{2} -2x\right]_{-1}^{3}
Il vient alors que :
I=[32x2−2x]−13I=\left[\frac{3}{2}x^{2} -2x\right]_{-1}^{3} équivaut successivement à :
I=F(3)−F(−1)I=F\left(3\right)-F\left(-1\right)
I=32×32−2×3−(32×(−1)2−2×(−1))I=\frac{3}{2} \times 3^{2} -2\times 3-\left(\frac{3}{2} \times \left(-1\right)^{2} -2\times \left(-1\right)\right)
I=272−6−(32+2)I=\frac{27}{2} -6-\left(\frac{3}{2} +2\right)
I=272−6−32−2I=\frac{27}{2} -6-\frac{3}{2} -2
I=272−6×22−32−2×22I=\frac{27}{2} -\frac{6\times 2}{2} -\frac{3}{2} -\frac{2\times 2}{2}
I=272−122−32−42I=\frac{27}{2} -\frac{12}{2} -\frac{3}{2} -\frac{4}{2}
I=4I=4
Finalement :
∫−13(3x−2)dx=4\int _{-1}^{3}\left(3x-2\right)dx=4

Question 3

I=∫−22x2dxI=\int _{-2}^{2}x^{2}dx

Correction
  • Comment calculer l'intégrale I=∫abf(x)dxI=\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx
  • 1ère étape : on calcule une primitive de ff notée FF. On écrira ensuite I=[F(x)]abI=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}
  • 2ème étape : I=F(b)−F(a)I=F\left(b\right)-F\left(a\right) et on effectue le calcul numérique.
Soit : f(x)=x2f\left(x\right)=x^{2}
Alors : F(x)=13x3F\left(x\right)=\frac{1}{3}x^{3}
Donc : I=[13x3]−22I=\left[\frac{1}{3}x^{3}\right]_{-2}^{2}
Il vient alors que :
I=[13x3]−22I=\left[\frac{1}{3}x^{3}\right]_{-2}^{2} équivaut successivement à :
I=F(2)−F(−2)I=F\left(2\right)-F\left(-2\right)
I=13×23−13×(−2)3I=\frac{1}{3}\times 2^{3}-\frac{1}{3}\times \left(-2\right)^{3}
I=13×8−13×(−8)I=\frac{1}{3}\times 8-\frac{1}{3}\times \left(-8\right)
I=83+83I=\frac{8}{3}+\frac{8}{3}
Finalement :
∫−22x2dx=163\int _{-2}^{2}x^{2}dx=\frac{16}{3}
Question 4

I=∫01(3x2−2x+3)dxI=\int _{0}^{1}\left(3x^{2}-2x+3\right)dx

Correction
  • Comment calculer l'intégrale I=∫abf(x)dxI=\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx
  • 1ère étape : on calcule une primitive de ff notée FF. On écrira ensuite I=[F(x)]abI=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}
  • 2ème étape : I=F(b)−F(a)I=F\left(b\right)-F\left(a\right) et on effectue le calcul numérique.
Soit : f(x)=3x2−2x+3f\left(x\right)=3x^{2}-2x+3
Alors : F(x)=x3−x2+3xF\left(x\right)=x^{3}-x^{2}+3x
Donc : I=[x3−x2+3x]01I=\left[x^{3}-x^{2}+3x\right]_{0}^{1}
Il vient alors que :
I=[x3−x2+3x]01I=\left[x^{3}-x^{2}+3x\right]_{0}^{1} équivaut successivement à :
I=F(1)−F(0)I=F\left(1\right)-F\left(0\right)
I=13−12+3×1−(03−02+3×0)I=1^{3}-1^{2}+3\times 1-\left(0^{3}-0^{2}+3\times 0\right)
I=1−1+3−0I=1-1+3-0
Finalement :
∫01(3x2−2x+3)=3\int _{0}^{1}\left(3x^{2}-2x+3\right)=3
Question 5

I=∫−33(5t3−4t)dtI=\int _{-3}^{3}\left(5t^{3} -4t\right)dt

Correction
  • Comment calculer l'intégrale I=∫abf(x)dxI=\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx
  • 1ère étape : on calcule une primitive de ff notée FF. On écrira ensuite I=[F(x)]abI=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}
  • 2ème étape : I=F(b)−F(a)I=F\left(b\right)-F\left(a\right) et on effectue le calcul numérique.
Soit : f(t)=5t3−4tf\left(t\right)=5t^{3} -4t
Alors : F(t)=54t4−2t2F\left(t\right)=\frac{5}{4} t^{4} -2t^{2}
Donc : I=[54t4−2t2]−33I=\left[\frac{5}{4} t^{4} -2t^{2} \right]_{-3}^{3}
Il vient alors que :
I=[54t4−2t2]−33I=\left[\frac{5}{4} t^{4} -2t^{2} \right]_{-3}^{3}
I=F(3)−F(−3)I=F\left(3\right)-F\left(-3\right)
I=54×34−2×32−(54×(−3)4−2×(−3)2)I=\frac{5}{4} \times 3^{4} -2\times 3^{2} -\left(\frac{5}{4} \times \left(-3\right)^{4} -2\times \left(-3\right)^{2} \right)
I=54×34−2×32−(54×34−2×32)I=\frac{5}{4} \times 3^{4} -2\times 3^{2} -\left(\frac{5}{4} \times 3^{4} -2\times 3^{2} \right)
Finalement :
∫−33(5t3−4t)dt=0\int _{-3}^{3}\left(5t^{3} -4t\right)dt=0

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