Calculs d'intégrales faisant intervenir les primitives de la forme : $$x\mapsto \frac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)}$$ - Exercice 1

Soit $$f\left(x\right)=\frac{2}{2x+4}$$
$$\blue{\text{Nous allons commencer par calculer une primitive de}}$$ $$\blue{f}$$
La fonction $$f$$ est de la forme $$\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}}$$ avec $${\color{red}{u\left(x\right)=2x+4}}$$.
De plus, $${\color{blue}{u'\left(x\right)=2}}$$ .
$$f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{2}}}{{\color{red}{2x+4}}}$$ s'écrit alors
$$f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{u'\left(x\right)}}}{{\color{red}{u\left(x\right)}}}$$
Or une primitive de $$\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}}$$ est de la forme $$\ln\left({\color{red}{u}}\right)$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ est :
$$F\left(x\right)=\ln \left({\color{red}{u\left(x\right)}}\right)$$
Ainsi :
$$\blue{\text{Maintenant nous pouvons calculer}}$$ $$\blue{I=\int _{3}^{4}\left(\frac{2}{2x+4} \right)dx}$$
$$I=\int _{3}^{4}\left(\frac{2}{2x+4} \right)dx$$ équivaut successivement à :
$$I=\left[\ln \left(2x+4\right)\right]_{3}^{4}$$
$$I=F\left(4 \right)-F\left(3 \right)$$
$$I=\ln \left(2\times 4+4\right)-\ln \left(2\times 3+4\right)$$
$$I=\ln \left(8+4\right)-\ln \left(6+4\right)$$
$$I=\ln \left(12\right)-\ln \left(10\right)$$
$$I=\ln \left(\frac{12}{10} \right)$$
Finalement :

Soit $$f\left(x\right)=\frac{5}{5x+1}$$
$$\blue{\text{Nous allons commencer par calculer une primitive de}}$$ $$\blue{f}$$
La fonction $$f$$ est de la forme $$\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}}$$ avec $${\color{red}{u\left(x\right)=5x+1}}$$.
De plus, $${\color{blue}{u'\left(x\right)=5}}$$ .
$$f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{5}}}{{\color{red}{5x+1}}}$$ s'écrit alors
$$f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{u'\left(x\right)}}}{{\color{red}{u\left(x\right)}}}$$
Or une primitive de $$\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}}$$ est de la forme $$\ln\left({\color{red}{u}}\right)$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ est :
$$F\left(x\right)=\ln \left({\color{red}{u\left(x\right)}}\right)$$
Ainsi :
$$\blue{\text{Maintenant nous pouvons calculer}}$$ $$\blue{I=\int _{0}^{1}\left(\frac{5}{5x+1} \right)dx}$$
$$I=\int _{0}^{1}\left(\frac{5}{5x+1} \right)dx$$ équivaut successivement à :
$$I=\left[\ln \left(5x+1\right)\right]_{3}^{4}$$
$$I=F\left(1 \right)-F\left(0 \right)$$
$$I=\ln \left(5\times 1+1\right)-\ln \left(5\times 0+1\right)$$
$$I=\ln \left(5+1\right)-\ln \left(0+1\right)$$
$$I=\ln \left(6\right)-\ln \left(1\right)$$
$$I=\ln \left(6 \right)-0$$
Finalement :

Soit $$f\left(x\right)=\frac{4x}{2x^2+1}$$
$$\blue{\text{Nous allons commencer par calculer une primitive de}}$$ $$\blue{f}$$
La fonction $$f$$ est de la forme $$\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}}$$ avec $${\color{red}{u\left(x\right)=2x^2+1}}$$.
De plus, $${\color{blue}{u'\left(x\right)=4x}}$$ .
$$f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{4x}}}{{\color{red}{2x^2+1}}}$$ s'écrit alors
$$f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{u'\left(x\right)}}}{{\color{red}{u\left(x\right)}}}$$
Or une primitive de $$\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}}$$ est de la forme $$\ln\left({\color{red}{u}}\right)$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ est :
$$F\left(x\right)=\ln \left({\color{red}{u\left(x\right)}}\right)$$
Ainsi :
$$\blue{\text{Maintenant nous pouvons calculer}}$$ $$\blue{I=\int _{1}^{2}\left(\frac{4x}{2x^2+1} \right)dx}$$
$$I=\int _{1}^{2}\left(\frac{4x}{2x^2+1} \right)dx$$ équivaut successivement à :
$$I=\left[\ln \left(2x^2+1\right)\right]_{1}^{2}$$
$$I=F\left(2 \right)-F\left(1 \right)$$
$$I={\mathrm{ln} \left(2\times 2^2+1\right)\ }-{\mathrm{ln} \left(2\times 1^2+1\right)\ }$$
$$I={\mathrm{ln} \left(9\right)\ }-{\mathrm{ln} \left(3\right)\ }$$
$$I={\mathrm{ln} \left(\frac{9}{3}\right)\ }$$
Finalement :