Transformer l'expression $${\color{red}{a\cos \left(\omega t\right)+b\sin \left(\omega t\right)}}$$ en $${\color{blue}{A\cos \left(\omega t+\varphi \right)}}$$ - Exercice 3

La fonction $$f\left(t\right)= 2\sqrt{3}\cos \left(6t\right)+2\sin \left(6t\right)$$ est bien de la forme $$a\cos \left(\omega t\right)+b\sin \left(\omega t\right)$$ . On identifie $$a=2\sqrt{3}$$ ; $$b=2$$ et $$\omega =6$$
Pour pourvoir exprimer $$f\left(t\right)$$ sous la forme $$A\cos \left(6t+\varphi \right)$$. Il va falloir suivre les deux étapes suivantes.

$$\blue{\text{Première étape :}}$$ Calculons la valeur de $$A$$

La valeur de $$A$$ est égale à
$$A=\sqrt{a^{2} +b^{2} }$$
$$A=\sqrt{\left(2\sqrt{3}\right)^{2} +2^{2} }$$
$$A=\sqrt{12+4}$$
$$A=\sqrt{16}$$
Ainsi :

$$\blue{\text{Deuxième étape :}}$$ Nous allons factoriser $$f\left(t\right)$$ par la valeur $$A=4$$

Soit $$f\left(t\right)= 2\sqrt{3}\cos \left(6t\right)+2\sin \left(6t\right)$$ . Factorisons cette expression par $$A=4$$. Cela nous donne :
$$f\left(t\right)=4\left(\frac{2\sqrt{3} \cos \left(6t\right)+2\sin \left(6t\right)}{4} \right)$$
$$f\left(t\right)=4\left(\frac{2\sqrt{3} \cos \left(6t\right)}{4} +\frac{2\sin \left(6t\right)}{4} \right)$$
$$f\left(t\right)=4\left(\frac{2\sqrt{3} }{4} \cos \left(6t\right)+\frac{2}{4} \sin \left(6t\right)\right)$$
$$f\left(t\right)=4\left(\frac{\sqrt{3} }{2} \cos \left(6t\right)+\frac{1}{2} \sin \left(6t\right)\right)$$
L'expression $$\frac{\sqrt{3} }{2} \cos \left(6t\right)+\frac{1 }{2} \sin \left(6t\right)$$ est de la forme $$\cos \left({\color{blue}{a}}\right)\cos \left({\color{red}{b}}\right)+\sin \left({\color{blue}{a}}\right)\sin \left({\color{red}{b}}\right)$$
Nous devons chercher une valeur de $$\theta$$ qui vérifie $$\cos \left(\theta \right)=\frac{\sqrt{3} }{2}$$ et $$\sin \left(\theta \right)=\frac{1 }{2}$$
A l'aide du cercle trigonométrique ci-dessous, $$\theta =\frac{\pi}{6}$$ convient car $$\red{\cos \left(\theta \right)=\frac{\sqrt{3} }{2} }$$ et $$\green{\sin\left(\theta \right)=\frac{1 }{2} }$$
Nous pouvons alors écrire que :
$$f\left(t\right)=4\left(\red{\frac{\sqrt{3} }{2}} \cos \left(6t\right)+\green{\frac{1 }{2} }\sin \left(6t\right)\right)$$
$$f\left(t\right)=4\left(\red{\cos \left(\frac{\pi}{6}\right)} \sin \left(2t\right)+\green{\sin \left(\frac{\pi}{6}\right)} \sin \left(6t\right)\right)$$
Or, nous savons que : $$\cos \left({\color{blue}{a}}-{\color{red}{b}}\right)=\cos \left({\color{blue}{a}}\right)\cos \left({\color{red}{b}}\right)+\sin \left({\color{blue}{a}}\right)\sin \left({\color{red}{b}}\right)$$
Ainsi :

$$f\left(t\right)$$ est bien sous la forme $$A\cos \left(6t+\varphi \right)$$ avec $$A=4$$ et $$\varphi=-\frac{\pi}{6}$$ .