Déterminer les primitives et composée de fonctions de la forme : $$\red{x\mapsto \frac{u'\left(x\right)}{u^{n} \left(x\right)}}$$ - Exercice 1

Soit $$x\in \left]6;+\infty \right[$$
La fonction $$f$$ est de la forme $$\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}}$$ avec $${\color{red}{u\left(x\right)=2x-12}}$$ et $${\color{brown}{n=5}}$$
De plus, $${\color{blue}{u'\left(x\right)=2}}$$ .
$$f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{2}}}{\left({\color{red}{2x-12}}\right)^{{\color{brown}{5}}}}$$ s'écrit alors
$$f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}}$$ avec $${\color{brown}{n=5}}$$
Or une primitive de $$\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}}$$ est de la forme $$\frac{-1}{\left({\color{brown}{n}}-1\right)\color{red}{u}^{{\color{brown}{n}-1}} }$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\left]6;+\infty \right[$$ est :
$$F\left(x\right)=\frac{-1}{\left({\color{brown}{n}}-1\right)\color{red}{u}^{{\color{brown}{n}-1}} }$$
$$F\left(x\right)=\frac{-1}{\left({\color{brown}{5}}-1\right)\left(\color{red}{2x-12}\right)^{{\color{brown}{5}-1}} }$$
Ainsi :

Soit $$x\in \left]8;+\infty \right[$$
La fonction $$f$$ est de la forme $$\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}}$$ avec $${\color{red}{u\left(x\right)=5x-40}}$$ et $${\color{brown}{n=3}}$$
De plus, $${\color{blue}{u'\left(x\right)=5}}$$ .
$$f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{5}}}{\left({\color{red}{5x-40}}\right)^{{\color{brown}{3}}}}$$ s'écrit alors
$$f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}}$$ avec $${\color{brown}{n=3}}$$
Or une primitive de $$\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}}$$ est de la forme $$\frac{-1}{\left({\color{brown}{n}}-1\right)\color{red}{u}^{{\color{brown}{n}-1}} }$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\left]8;+\infty \right[$$ est :
$$F\left(x\right)=\frac{-1}{\left({\color{brown}{n}}-1\right)\color{red}{u}^{{\color{brown}{n}-1}} }$$
$$F\left(x\right)=\frac{-1}{\left({\color{brown}{3}}-1\right)\left(\color{red}{5x-40}\right)^{{\color{brown}{3}-1}} }$$
Ainsi :

Soit $$x\in \left]-4;+\infty \right[$$
La fonction $$f$$ est de la forme $$\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}}$$ avec $${\color{red}{u\left(x\right)=3x+12}}$$ et $${\color{brown}{n=7}}$$
De plus, $${\color{blue}{u'\left(x\right)=3}}$$ .
$$f\left(x\right)=\frac{24}{\left(3x+12\right)^{7}}$$ s'écrit alors
$$f\left(x\right)={\color{purple}{8}}\times\frac{{\color{blue}{3}}}{\left({\color{red}{3x+12}}\right)^{{\color{brown}{7}}}}$$
$$f\left(x\right)={\color{purple}{k}}\times\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}}$$ avec $${\color{brown}{n=7}}$$ et $${\color{purple}{k=8}}$$
Or une primitive de $${\color{purple}{k}}\times\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}}$$ est de la forme $$\frac{-{\color{purple}{k}}}{\left({\color{brown}{n}}-1\right)\color{red}{u}^{{\color{brown}{n}-1}} }$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\left]-4;+\infty \right[$$ est :
$$F\left(x\right)=\frac{-{\color{purple}{k}}}{\left({\color{brown}{n}}-1\right)\color{red}{u}^{{\color{brown}{n}-1}} }$$
$$F\left(x\right)=\frac{-{\color{purple}{8}}}{\left({\color{brown}{7}}-1\right)\left(\color{red}{3x+12}\right)^{{\color{brown}{7}-1}} }$$
$$F\left(x\right)=\frac{-8}{6\left(3x+12\right)^{6} }$$
Ainsi : $$\blue{\text{n'oubliez pas de simplifier par 2 le numérateur et le dénominateur.}}$$

Soit $$x\in \mathbb{R}$$
La fonction $$f$$ est de la forme $$\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}}$$ avec $${\color{red}{u\left(x\right)=3x^{2}+1}}$$ et $${\color{brown}{n=2}}$$
De plus, $${\color{blue}{u'\left(x\right)=6x}}$$ .
$$f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{6x}}}{\left({\color{red}{3x^{2}+1}}\right)^{{\color{brown}{2}}}}$$ s'écrit alors
$$f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}}$$ avec $${\color{brown}{n=2}}$$
Or une primitive de $$\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}}$$ est de la forme $$\frac{-1}{\left({\color{brown}{n}}-1\right)\color{red}{u}^{{\color{brown}{n}-1}} }$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$ est :
$$F\left(x\right)=\frac{-1}{\left({\color{brown}{n}}-1\right)\color{red}{u}^{{\color{brown}{n}-1}} }$$
$$F\left(x\right)=\frac{-1}{\left({\color{brown}{2}}-1\right)\left(\color{red}{3x^{2}+1}\right)^{{\color{brown}{2}-1}} }$$
Ainsi :