Étudier la convergence de la série $$S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} e^{-nx}$$ - Exercice 1

Soit $$n$$ un nombre entier naturel.
Soit $$x >0$$.
On pose $$u_n(x) = e^{-nx}$$.
On constate que la fonction $$u_n$$ est positive, décroissante et continue sur $$\mathbb{R}^{+\star}$$. De plus, on a :
$$\forall x >0, \forall n \in \mathbb{N} \,\, \left\vert u_n(x) \right\vert = u_n(x) \leqslant e^0$$
Soit :
$$\forall x >0, \forall n \in \mathbb{N} \,\, \left\vert u_n(x) \right\vert \leqslant 1$$
Or, la série $$\sum_{n=0}^{+\infty} 1$$ diverge. Ceci implique que la série $$S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} e^{-nx}$$ ne converge pas normalement sur $$\mathbb{R}^{+\star}$$.
On constate que :
$$S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} e^{-nx} = \sum_{n=0}^{+\infty} \left( e^{-x} \right)^n$$
Il s'agit d'une série géométrique de raison $$e^{-x}$$. Or, comme $$x > 0$$ on a donc $$0 < e^{-x} < 1$$. De fait la raison qui est comprise entre $$0$$ et $$1$$ entraîne immédiatement la convergence simple de la série $$S(x)$$ sur l'intervalle $$\mathbb{R}^{+\star}$$.
Sur l'intervalle $$\mathbb{R}^{+\star}$$, la série $$S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} e^{-nx}$$ converge simplement vers la fonction $$f$$ dont l'image est $$f(x) = \dfrac{1}{1-e^{-x}}$$.
Étudions maintenant une éventuelle convergence uniforme de $$S(x)$$ sur l'intervalle $$\mathbb{R}^{+\star}$$.
On a :
$$\left\vert \left\vert \, u_n(x) - f(x) \, \right\vert \right\vert_{\infty} = \underset{x>0}{\sup} \left\vert \, u_n(x) - f(x) \, \right\vert = \underset{x>0}{\sup} \left\vert \, e^{-nx} - \dfrac{1}{1-e^{-x}} \, \right\vert$$
On constate alors que :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty } \left\vert \left\vert \, u_n(x) - f(x) \, \right\vert \right\vert_{\infty} = \lim_{n \longrightarrow + \infty } \underset{x>0}{\sup} \left\vert \, e^{-nx} - \dfrac{1}{1-e^{-x}} \, \right\vert \neq 0$$
De fait la suite $$\left( u_n(x) \right)_{n \in \mathbb{N}}$$ ne converge pas uniformément sur $$\mathbb{R}^{+\star}$$. Ainsi il en va de même pour la série $$S(x)$$ qui ne converge pas uniformément sur $$\mathbb{R}^{+\star}$$.