Étudier la convergence de la série $$S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n\dfrac{x}{x^2 + n^2}$$ - Exercice 1

Soit $$n$$ un nombre entier naturel non nul.
Soit $$x$$ un nombre réel : $$x \in \mathbb{R}^+$$.
On pose :
$$u_n(x) = (-1)^n\dfrac{x}{x^2 + n^2}$$
De fait, on a :
$$|\, u_n(x) \,| = \dfrac{x}{x^2 + n^2}$$
Sur l'intervalle $$\mathbb{R}^+$$, pour $$n$$ un nombre entier naturel non nul, la fonction $$|\, u_n \,|$$ est dérivable. On a alors :
$$\forall x \geqslant 0, \,\, \forall n \in \mathbb{N}^\star, \,\, |\, u_n(x) \,|' = -\dfrac{x^2-n^2}{\left( x^2 + n^2 \right)^2}$$
On constate alors que :
$$\forall x \geqslant 0, \,\, |\, u_n(x) \,|' = 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, x = n$$
De plus, on a :
- si $$0 \leqslant x < n$$ alors $$|\, u_n(x) \,|' > 0$$ ;
- si $$x > n$$ alors $$|\, u_n(x) \,|' < 0$$ ;
Donc la valeur $$x = n$$ rend extrêmale la fonction $$|\, u_n \,|$$. Il s'agit d'un maximum qui se situe à l'ordonnée $$|\, u_n(x=n) \,|$$, à savoir $$(n \neq 0)$$ :
$$|\, u_n(x=n) \,| = \dfrac{n}{n^2 + n^2} = \dfrac{n}{2n^2} = \dfrac{n}{2nn} = \dfrac{1}{2n}\dfrac{n}{n} = \dfrac{1}{2n}$$
On constate que :
$$\forall x\geqslant 0, \,\, \forall n \in \mathbb{N}^\star, \,\, \left\vert u_n(x) \right\vert \leqslant \dfrac{1}{2n}$$
La série numérique, $$\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{2n} = \dfrac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}$$, qui est la moitié de la série harmonique, est non convergente. De fait la série $$S(x)$$ n'est pas normalement convergente sur l'intervalle $$\mathbb{R}^+$$.
Étudions maintenant une éventuelle convergence uniforme de $$S(x)$$ sur l'intervalle $$\mathbb{R}^+$$.
On constate que, pour $$x \in \mathbb{R}^+$$, la suite $$\left( |\, u_n(x) \,| \right)_{n \in \mathbb{N}^\star} = \left( \dfrac{x}{x^2 + n^2} \right)_{n \in \mathbb{N}^\star}$$ est positive et décroissante. De plus, on a :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} |\, u_n(x) \,| = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{x}{x^2 + n^2} = 0$$
En vertu du critère des séries alternées, on peut affirmer que la série $$S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n\dfrac{x}{x^2 + n^2}$$ est convergente.
De plus, on a :
$$S(x) = \sum_{k=1}^{+\infty} (-1)^k \dfrac{x}{x^2 + k^2} = \sum_{k=1}^{n} (-1)^k \dfrac{x}{x^2 + k^2} + \sum_{k=n+1}^{+\infty} (-1)^k \dfrac{x}{x^2 + k^2}$$
On constate que le reste $$R_n(x) = \sum_{k=n+1}^{+\infty} (-1)^k \dfrac{x}{x^2 + k^2}$$ vérifie sur l'intervalle $$\mathbb{R}^+$$ :
$$| \, R_n(x) \, | \leqslant | \, u_{n+1}(x) \, |$$
Soit :
$$| \, R_n(x) \, | \leqslant \left\vert \, (-1)^{n+1} \dfrac{x}{x^2 + (n + 1)^2} \, \right\vert$$
Soit encore :
$$| \, R_n(x) \, | \leqslant \dfrac{x}{x^2 + (n + 1)^2}$$
Or, comme $$x \in \mathbb{R}^+$$ et $$n \in \mathbb{N}^\star$$, on peut affirmer que :
$$0 \leqslant \dfrac{1}{x^2 + n + 1} \leqslant \dfrac{1}{n}$$
Ce qui implique que :
$$| \, R_n(x) \, | \leqslant \dfrac{1}{n}$$
On constate alors que :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{1}{n} = 0$$
En conséquence, on en déduit que la série de fonctions $$S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n\dfrac{x}{x^2 + n^2}$$ converge uniformément sur l'intervalle $$\mathbb{R}^+$$.