Étudier la convergence de la série $$S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x)$$ - Exercice 1

$${\color{red}{\bullet \,\, \bf{Convergence \,\, simple}}}$$
On constate que si $$x = 0$$ ou si $$x=1$$ alors, pour tout nombre entier naturel non nul $$n$$, $$u_n(x) = 0$$ et de fait $$S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x) = 0$$. Ainsi si $$x = 0$$ ou si $$x=1$$ alors il y a convergence simple de la série $$S(x)$$ vers la valeur $$0$$.
Supposons maintenant que $$0 < x < 1$$.
On peut écrire que :
$$S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} x^{2n} \ln(x) = \ln(x) \sum_{n=1}^{+\infty} x^{2n} = \ln(x) \sum_{n=1}^{+\infty} \left( x^{2} \right)^n$$
On reconnait la présence d'une série géométrique de raison $$x^2$$ et de premier terme $$x^2$$. Comme $$0 < x < 1$$ alors $$0 < x^2 < 1$$. Ainsi la série géométrique est convergente. Et dans ce dernier cas, on peut donc écrire que si $$0 < x < 1$$ alors la série $$S(x)$$ converge simplement vers la valeur réelle $$x^2 \ln(x)\dfrac{1}{1-x^2} = \dfrac{x^2 \ln(x)}{1-x^2}$$.
$${\color{blue}{\bullet \bullet \,\, \bf{Convergence \,\, uniforme}}}$$
Soit $$0 \leqslant x \leqslant 1$$.
On constate que si $$x=1$$ alors que $$S(x=1) = 0$$. Cependant, on a :
$$\lim_{x \longrightarrow 1^-} S(x) = \lim_{x \longrightarrow 1^-} \dfrac{x^2 \ln(x)}{1-x^2}$$
On pose $$x = 1 - \varepsilon$$ avec $$\varepsilon \longrightarrow 0^+$$. On a alors :
$$\lim_{x \longrightarrow 1^-} \dfrac{x^2 \ln(x)}{1-x^2} = \lim_{\varepsilon \longrightarrow 0^+} \dfrac{(1 - \varepsilon)^2 \ln(1 - \varepsilon)}{1-(1 - \varepsilon)^2} = \lim_{\varepsilon \longrightarrow 0^+} \dfrac{(1 - 2\varepsilon + \varepsilon^2) \ln(1 - \varepsilon)}{1-(1 - 2\varepsilon + \varepsilon^2)} = \lim_{\varepsilon \longrightarrow 0^+} \dfrac{(1 - 2\varepsilon + \varepsilon^2) (- \varepsilon)}{1-1 + 2\varepsilon - \varepsilon^2}$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$\lim_{x \longrightarrow 1^-} \dfrac{x^2 \ln(x)}{1-x^2} = - \lim_{\varepsilon \longrightarrow 0^+} \dfrac{(1 - 2\varepsilon + \varepsilon^2) \varepsilon}{ 2\varepsilon - \varepsilon^2} = - \lim_{\varepsilon \longrightarrow 0^+} \dfrac{1 - 2\varepsilon + \varepsilon^2}{ 2 - \varepsilon} = - \dfrac{1}{2}$$
De fait :
$$\lim_{x \longrightarrow 1^-} \dfrac{x^2 \ln(x)}{1-x^2} = - \dfrac{1}{2}$$
Autrement dit :
$$\lim_{x \longrightarrow 1^-} S(x) = - \dfrac{1}{2}$$
Donc l'expression $$S(x)$$ n'est pas continue en $$1$$. Donc la série de fonctions $$S(x)$$ n'est pas continue sur l'intervalle $$[0\,;\,1]$$. Il en résulte que la série de fonctions $$S(x)$$ ne converge pas uniformément sur l'intervalle $$[0\,;\,1]$$.
Examinons la situation si $$0 \leqslant x < 1$$.
On a :
$$S(x) = \sum_{k=1}^{+\infty} x^{2k} \ln(x) = \sum_{k=1}^{n} x^{2k} \ln(x) + \sum_{k=n+1}^{+\infty} x^{2k} \ln(x) = \sum_{k=1}^{n} x^{2k} \ln(x) + R_n(x)$$
Avec :
$$R_n(x) = \sum_{k=n+1}^{+\infty} x^{2k} \ln(x) = \ln(x) \sum_{k=n+1}^{+\infty} x^{2k} = \ln(x) \sum_{k=n+1}^{+\infty} \left( x^{2} \right)^k =\ln(x) \times x^{2(n+1)}\dfrac{1}{1-x^2}$$
Donc :
$$R_n(x) = \dfrac{x^{2n+2} \ln(x)}{1-x^2}$$
On peut alors écrire que :
$$\lim_{x \longrightarrow 1^-} R_n(x) = \lim_{x \longrightarrow 1^-} \dfrac{x^{2n+2} \ln(x)}{1-x^2}$$
On pose $$x = 1 - \varepsilon$$ avec $$\varepsilon \longrightarrow 0^+$$. On a alors :
$$\lim_{x \longrightarrow 1^-} \dfrac{x^{2n+2} \ln(x)}{1-x^2} = \lim_{\varepsilon \longrightarrow 0^+} \dfrac{(1 - \varepsilon)^{2n+2} \ln(1 - \varepsilon)}{1-(1 - \varepsilon)^2} = \lim_{\varepsilon \longrightarrow 0^+} \dfrac{\left( \displaystyle{\sum_{k=0}^{2n+2}1^k \varepsilon^{2n+2-k}} \right) (- \varepsilon)}{1-(1 - 2\varepsilon + \varepsilon^2)} = -\lim_{\varepsilon \longrightarrow 0^+} \dfrac{\left( \displaystyle{\sum_{k=0}^{2n+2}1 \varepsilon^{2n+2-k}} \right) \varepsilon}{1-1 + 2\varepsilon - \varepsilon^2)}$$
Soit :
$$\lim_{x \longrightarrow 1^-} \dfrac{x^{2n+2} \ln(x)}{1-x^2} = -\lim_{\varepsilon \longrightarrow 0^+} \dfrac{\left( \displaystyle{\sum_{k=0}^{2n+2} \varepsilon^{2n+2-k}} \right) \varepsilon}{ 2\varepsilon - \varepsilon^2} = -\lim_{\varepsilon \longrightarrow 0^+} \dfrac{ \displaystyle{\sum_{k=0}^{2n+2} \varepsilon^{2n+2-k}} }{ 2 - \varepsilon} = -\lim_{\varepsilon \longrightarrow 0^+} \dfrac{ \varepsilon^{2n+2-(2n+2)}+ \displaystyle{\sum_{k=0}^{2n+1} \varepsilon^{2n+2-k}} }{ 2 - \varepsilon}$$
De fait, on obtient :
$$\lim_{x \longrightarrow 1^-} \dfrac{x^{2n+2} \ln(x)}{1-x^2} = -\lim_{\varepsilon \longrightarrow 0^+} \dfrac{ \varepsilon^{0}+ \displaystyle{\sum_{k=0}^{2n+1} \varepsilon^{2n+2-k}} }{ 2 - \varepsilon} = -\lim_{\varepsilon \longrightarrow 0^+} \dfrac{ 1 + \displaystyle{\sum_{j=1}^{2n+2} \varepsilon^j} }{ 2 - \varepsilon} = - \dfrac{1+0}{2-0} = - \dfrac{1}{2}$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$\lim_{x \longrightarrow 1^-} R_n(x) = - \dfrac{1}{2}$$
Dès lors :
$$\underset{0 \leqslant x < 1}{\sup}|\, R_n(x) \,| \geqslant \dfrac{1}{2}$$
Or, on n sait que $$S(x=0) = 0$$ ce qui implique que $$R_n(x=0) = 0$$.
Il en résulte que la série de fonctions $$S(x)$$ ne converge pas uniformément sur l'intervalle $$[0\,;\,1[$$.
Examinons maintenant la situation si $$0 \leqslant x \leqslant a$$ avec $$0 < a < 1$$.
On sait que :
$$R_n(x) = \dfrac{x^{2n+2} \ln(x)}{1-x^2} = x \ln(x) \times \dfrac{x^{2n+1}}{1-x^2}$$
Etudions la fonction $$f : x \longmapsto x \ln(x)$$ sur l'intervalle $$]0 \,;\, 1]$$. Cette fonction y est dérivable, et on a :
$$\forall x \in ]0 \,;\, 1], \,\, f'(x) = \left( x \ln(x) \right)' = x'\ln(x) + x \ln'(x) = 1\ln(x) + x \dfrac{1}{x} = \ln(x) + 1$$
Ainsi , sur l'intervalle $$]0 \,;\, 1]$$ on a $$f'(x) = \ln(x) + 1 = 0$$ qui implique que $$x = \dfrac{1}{e}$$. En outre, on constate que :
- si $$0 < x < \dfrac{1}{e}$$ alors $$f'(x)$$ est négative et de fait $$f$$ y est décroissante ;
- si $$x = \dfrac{1}{e}$$ alors $$f'(x)$$ est nulle et de fait $$f$$ y est extrémale ;
- si $$\dfrac{1}{e} < x \leqslant 1$$ alors $$f'(x)$$ est positive et de fait $$f$$ y est croissante.
De fait, en $$x = \dfrac{1}{e}$$ on a un minimum qui vaut $$f\left( \dfrac{1}{e} \right) = \dfrac{1}{e} \ln\left( \dfrac{1}{e} \right) = - \dfrac{1}{e} \ln\left( e\right) = - \dfrac{1}{e} \times 1 = - \dfrac{1}{e}$$
De ceci, on en déduit que :
$$\forall x \in ]0 \,;\, 1], \,\, \left\vert \, x \ln(x) \, \right\vert = \dfrac{1}{e}$$
En conséquence, $$\forall x \in [0 \,;\, a]$$, on a :
$$| \, R_n(x) \, | = \left\vert x \ln(x) \times \dfrac{x^{2n+1}}{1-x^2} \right\vert = \left\vert x \ln(x) \right\vert \times \dfrac{x^{2n+1}}{1-x^2}$$
Donc :
$$\forall x \in [0 \,;\, a], \,\, | \, R_n(x) \, | \leqslant \dfrac{1}{e} \times \dfrac{a^{2n+1}}{1-a^2}$$
Ceci nous conduit à :
$$0 \leqslant \underset{x \in [0 \,;\, a]}{\sup}| \, R_n(x) \, | \leqslant \dfrac{a^{2n+1}}{e \left( 1-a^2 \right)}$$
Par passage à la limite lorsque $$n \longrightarrow + \infty$$ on obtient (avec $$0 < a < 1$$) :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{a^{2n+1}}{e \left( 1-a^2 \right)} = \dfrac{1}{e \left( 1-a^2 \right)} \lim_{n \longrightarrow + \infty} a^{2n+1} = \dfrac{1}{e \left( 1-a^2 \right)} \times 0 = 0$$
Donc :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} 0 = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{a^{2n+1}}{e \left( 1-a^2 \right)} = 0$$
D'après le théorème de l'encadrement, cela nous permet d'affirmer que :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \underset{x \in [0 \,;\, a]}{\sup}| \, R_n(x) \, |= 0$$
Il en résulte que la série de fonctions $$S(x)$$ converge uniformément sur l'intervalle $$[0\,;\,a]$$ avec $$0 < a < 1$$.
$${\color{green}{\bullet \bullet \bullet \,\, \bf{Convergence \,\, normale \,\, sur \,\, [0 \,;\,\textit{a}] \,\, avec \,\, 0 < \textit{a} < 1}}}$$
Examinons maintenant la situation d'une éventuelle convergence normale si $$0 \leqslant x \leqslant a$$ avec $$0 < a < 1$$.
On a :
$$\forall x \in [0 \,;\, a], \,\, | \, u_n(x) \, | = | \, x^{2n} \ln(x) \, | = | \, x^{2n-1} x \ln(x) \, | = | \, x^{2n-1} \, | \times | \, x \ln(x) \, |$$
D'après ce qui précède, on peut écrire que :
$$\forall x \in [0 \,;\, a], \,\, | \, u_n(x) \, | \leqslant a^{2n-1} \times \dfrac{1}{e}$$
Or, la série numérique $$\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{a^{2n-1}}{e} = \dfrac{1}{e} \sum_{n=1}^{\infty} a^{2n-1}$$ est convergente car $$0 < a < 1$$. De fait, cela entraine a convergence normale de la série de fonction $$S(x)$$ sur l'intervalle $$[0 \,;\,a]$$ avec $$0 < a < 1$$.