Montrer que la série de fonctions $$S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \sin\left( \dfrac{x}{2n(n+1)} \right) \cos\left( \dfrac{(2n+1)x}{2n(n+1)} \right)$$ converge simplement sur $$\mathbb{R}$$. - Exercice 1

On sait que pour $$p$$ et $$q$$, deux nombres réels, on a :
$$\dfrac{1}{2} \left( \sin(p) - \sin(q) \right) = \sin\left( \dfrac{p-q}{2} \right) \cos\left( \dfrac{p+q}{2} \right)$$
Dans la relation trigonométrique précédente, posons $$p = \dfrac{x}{n}$$ et $$q = \dfrac{x}{n+1}$$. On a alors :
$$\dfrac{1}{2} \left( \left( \dfrac{x}{n} \right) - \sin\left( \dfrac{x}{n+1} \right) \right) = \sin\left( \dfrac{\dfrac{x}{n}-\dfrac{x}{n+1}}{2} \right) \cos\left( \dfrac{\dfrac{x}{n}+\dfrac{x}{n+1}}{2} \right)$$
Soit :
$$\dfrac{1}{2} \left( \left( \dfrac{x}{n} \right) - \sin\left( \dfrac{x}{n+1} \right) \right) = \sin\left( \dfrac{\dfrac{(n+1)x - nx}{n(n+1)}}{2} \right) \cos\left( \dfrac{\dfrac{(n+1)x + nx}{n(n+1)}}{2} \right)$$
Soit encore :
$$\dfrac{1}{2} \left( \left( \dfrac{x}{n} \right) - \sin\left( \dfrac{x}{n+1} \right) \right) = \sin\left( \dfrac{(n+1)x - nx}{2n(n+1)} \right) \cos\left( \dfrac{(n+1)x + nx}{2n(n+1)} \right)$$
Ce qui nous donne :
$$\dfrac{1}{2} \left( \left( \dfrac{x}{n} \right) - \sin\left( \dfrac{x}{n+1} \right) \right) = \sin\left( \dfrac{nx + x - nx}{2n(n+1)} \right) \cos\left( \dfrac{nx + x + nx}{2n(n+1)} \right)$$
Ainsi :
$$\dfrac{1}{2} \left( \left( \dfrac{x}{n} \right) - \sin\left( \dfrac{x}{n+1} \right) \right) = \sin\left( \dfrac{x}{2n(n+1)} \right) \cos\left( \dfrac{2nx + x}{2n(n+1)} \right)$$
Ce qui nous permet d'obtenir :
$$\dfrac{1}{2} \left( \left( \dfrac{x}{n} \right) - \sin\left( \dfrac{x}{n+1} \right) \right) = \sin\left( \dfrac{x}{2n(n+1)} \right) \cos\left( \dfrac{(2n+1)x}{2n(n+1)} \right)$$
Posons :
$$u_n(x) = \sin\left( \dfrac{x}{2n(n+1)} \right) \cos\left( \dfrac{(2n+1)x}{2n(n+1)} \right)$$
Ce qui revient à avoir :
$$u_n(x) = \dfrac{1}{2} \left( \sin\left( \dfrac{x}{n} \right) - \sin\left( \dfrac{x}{n+1} \right) \right)$$
On pose également $$S_N(x)$$ de la manière suivante :
$$S_N(x) = \sum_{n=1}^{N} u_n(x)$$
Soit :
$$S_N(x) = \dfrac{1}{2} \sum_{n=1}^{N} \left( \sin\left( \dfrac{x}{n} \right) - \sin\left( \dfrac{x}{n+1} \right) \right)$$
Par télescopage, on obtient immédiatement :
$$S_N(x) = \dfrac{1}{2} \left( \sin\left( x \right) - \sin\left( \dfrac{x}{N+1} \right) \right)$$
De fait, par passage à la limite $$N \longrightarrow + \infty$$ on obtient :
$$S(x)= \lim_{N \longrightarrow + \infty} S_N(x)$$
Soit :
$$S(x)= \lim_{N \longrightarrow + \infty} \left( \dfrac{1}{2} \left( \sin\left( x \right) - \sin\left( \dfrac{x}{N+1} \right) \right) \right)$$
Soit encore :
$$S(x)= \dfrac{1}{2} \sin\left( x \right) - \dfrac{1}{2} \lim_{N \longrightarrow + \infty} \sin\left( \dfrac{x}{N+1} \right)$$
Comme $$\lim_{N \longrightarrow + \infty} \sin\left( \dfrac{x}{N+1} \right) = \lim_{V \longrightarrow 0} \sin\left( Vx \right) = 0$$, on a alors :
$$S(x)= \dfrac{1}{2} \sin\left( x \right) - 0$$
Ce qui nous permet d'obtenir
$$S(x)= \dfrac{1}{2} \sin\left( x \right)$$
Cela assure la convergence simple de la série de fonctions $$S(x)$$ sur $$\mathbb{R}$$ vers la somme $$\dfrac{1}{2} \sin\left( x \right)$$.

Pour tout nombre réel $$x$$, on a posé :
$$u_n(x) = \sin\left( \dfrac{x}{2n(n+1)} \right) \cos\left( \dfrac{(2n+1)x}{2n(n+1)} \right)$$
Ce qui revient à avoir :
$$u_n(x) = \dfrac{1}{2} \left( \sin\left( \dfrac{x}{n} \right) - \sin\left( \dfrac{x}{n+1} \right) \right)$$
Ainsi :
$$u'_n(x) = \left( \dfrac{1}{2} \left( \sin\left( \dfrac{x}{n} \right) - \sin\left( \dfrac{x}{n+1} \right) \right) \right)' = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{n}\cos\left( \dfrac{x}{n} \right) - \dfrac{1}{n+1}\cos\left( \dfrac{x}{n+1} \right) \right)$$
Posons maintenant :
$$D_N(x) = \sum_{n=1}^{N} u'_n(x)$$
Ce qui nous donne immédiatement :
$$D_N(x) = \dfrac{1}{2} \sum_{n=1}^{N} \left( \dfrac{1}{n}\cos\left( \dfrac{x}{n} \right) - \dfrac{1}{n+1}\cos\left( \dfrac{x}{n+1} \right) \right)$$
Par télescopage, on trouve directement que :
$$D_N(x) = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{1}\cos\left( \dfrac{x}{1} \right) - \dfrac{1}{N+1}\cos\left( \dfrac{x}{N+1} \right) \right)$$
Soit :
$$D_N(x) = \dfrac{1}{2} \left( \cos\left( x \right) - \dfrac{1}{N+1}\cos\left( \dfrac{x}{N+1} \right) \right)$$
par passage à la limite $$N \longrightarrow + \infty$$ on obtient :
$$D(x)= \lim_{N \longrightarrow + \infty} D_N(x)$$
Soit :
$$D(x)= \lim_{N \longrightarrow + \infty} \left( \dfrac{1}{2} \left( \cos\left( x \right) - \dfrac{1}{N+1}\cos\left( \dfrac{x}{N+1} \right) \right) \right)$$
Soit encore :
$$D(x)= \dfrac{1}{2} \cos\left( x \right) - \dfrac{1}{2} \lim_{N \longrightarrow + \infty} \left( \dfrac{1}{N+1}\cos\left( \dfrac{x}{N+1} \right) \right)$$
Comme $$\lim_{N \longrightarrow + \infty} \left( \dfrac{1}{N+1}\cos\left( \dfrac{x}{N+1} \right) \right) = \lim_{V \longrightarrow 0} V \cos\left( Vx \right) = 0 \times 1 = 0$$, on a alors :
$$D(x)= \dfrac{1}{2} \cos\left( x \right)$$
Ceci implique que la suite des sommes partielles $$(D_N(x))_{N \in \mathbb{N}^\star}$$ converge simplement sur $$\mathbb{R}$$.
Cela assure la convergence simple de la série de fonctions $$\sum_{n=1}^{+\infty} u'_n(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \left( \sin\left( \dfrac{x}{2n(n+1)} \right) \cos\left( \dfrac{(2n+1)x}{2n(n+1)} \right) \right)'$$ sur $$\mathbb{R}$$ vers la somme $$D(x) = \dfrac{1}{2} \cos\left( x \right)$$.
Concernant une éventuelle convergence uniforme de la série de fonction $$\sum_{n=1}^{+\infty} u'_n(x)$$ sur $$\mathbb{R}$$, on a :
Donc, regardons l'expression suivante :
$$D_N(x) - D(x) = \dfrac{1}{2} \left( \cos\left( x \right) - \dfrac{1}{N+1} \cos\left( \dfrac{x}{N+1} \right) \right) - \dfrac{1}{2} \cos\left( x \right)$$
Soit :
$$D_N(x) - D(x) = \dfrac{1}{2} \cos\left( x \right) - \dfrac{1}{2} \dfrac{1}{N+1}\cos\left( \dfrac{x}{N+1} \right) - \dfrac{1}{2} \cos\left( x \right)$$
Soit encore :
$$D_N(x) - D(x) = - \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{N+1} \cos\left( \dfrac{x}{N+1} \right)$$
De fait :
$$| \, D_N(x) - D(x) \, | = \dfrac{1}{2(N+1)} \left\vert \cos\left( \dfrac{x}{N+1} \right) \right\vert$$
Or, on a :
$$0 \leqslant \left\vert \cos\left( \dfrac{x}{N+1} \right) \right\vert \leqslant 1$$
Dans ce cas :
$$0 \leqslant \dfrac{1}{2(N+1)} \left\vert \cos\left( \dfrac{x}{N+1} \right) \right\vert \leqslant \dfrac{1}{2(N+1)}$$
D'où :
$$0 \leqslant | \, D_N(x) - D(x) \, | \leqslant \dfrac{1}{2(N+1)}$$
Ce qui implique que :
$$\underset{x \in \mathbb{R}}{\sup} | \, D_N(x) - D(x) \, | = \dfrac{1}{2(N+1)}$$
Ce qui revient à affirmer que :
$$|| \, D_N(x) - D(x) \, ||_{\infty} = \dfrac{1}{2(N+1)}$$
Par passage à la limite $$N \longrightarrow + \infty$$ on obtient :
$$\lim_{N \longrightarrow + \infty} || \, D_N(x) - D(x) \, ||_{\infty} = \lim_{N \longrightarrow + \infty} \dfrac{1}{2(N+1)}$$
Soit :
$$\lim_{N \longrightarrow + \infty} || \, D_N(x) - D(x) \, ||_{\infty} = \dfrac{1}{2}\lim_{N \longrightarrow + \infty} \dfrac{1}{N+1}$$
Soit encore :
$$\lim_{N \longrightarrow + \infty} || \, D_N(x) - D(x) \, ||_{\infty} = \dfrac{1}{2}\lim_{V \longrightarrow +0} V$$
D'où :
$$\lim_{N \longrightarrow + \infty} || \, D_N(x) - D(x) \, ||_{\infty} = 0$$
Cela implique que la série de fonctions $$\sum_{n=1}^{+\infty} \left( \sin\left( \dfrac{x}{2n(n+1)} \right) \cos\left( \dfrac{(2n+1)x}{2n(n+1)} \right) \right)'$$ converge uniformément sur $$\mathbb{R}$$.

On a montré que la série de fonctions $$S(x)$$ converge simplement sur $$\mathbb{R}$$ vers la somme $$\dfrac{1}{2} \sin\left( x \right)$$.
Donc, regardons l'expression suivante :
$$S_N(x) - S(x) = \dfrac{1}{2} \left( \sin\left( x \right) - \sin\left( \dfrac{x}{N+1} \right) \right) - \dfrac{1}{2} \sin\left( x \right)$$
Soit :
$$S_N(x) - S(x) = \dfrac{1}{2} \sin\left( x \right) - \dfrac{1}{2} \sin\left( \dfrac{x}{N+1} \right) - \dfrac{1}{2} \sin\left( x \right)$$
Soit encore :
$$S_N(x) - S(x) = - \dfrac{1}{2} \sin\left( \dfrac{x}{N+1} \right)$$
De fait :
$$| \, S_N(x) - S(x) \, | = \dfrac{1}{2} \left\vert \sin\left( \dfrac{x}{N+1} \right) \right\vert$$
Or, on a :
$$0 \leqslant \left\vert \sin\left( \dfrac{x}{N+1} \right) \right\vert \leqslant 1$$
Dans ce cas :
$$0 \leqslant \dfrac{1}{2} \left\vert \sin\left( \dfrac{x}{N+1} \right) \right\vert \leqslant \dfrac{1}{2}$$
D'où :
$$0 \leqslant | \, S_N(x) - S(x) \, | \leqslant \dfrac{1}{2}$$
Ce qui implique que :
$$\underset{x \in \mathbb{R}}{\sup} | \, S_N(x) - S(x) \, | = \dfrac{1}{2}$$
Ce qui revient à affirmer que :
$$|| \, S_N(x) - S(x) \, ||_{\infty} \neq 0$$
Cela implique que la série de fonctions $$\sum_{n=1}^{+\infty} \sin\left( \dfrac{x}{2n(n+1)} \right) \cos\left( \dfrac{(2n+1)x}{2n(n+1)} \right)$$ ne converge pas uniformément sur $$\mathbb{R}$$.