Séries de fonctions

La notation $$| \, \, |$$ désigne la valeur absolue d'un nombre réel ou le module d'un nombre complexe.
$${\color{red}{\blacktriangleright \,\, \textbf{Séries de fonctions}}}$$
$${\color{blue}{\blacklozenge \,\, \textbf{La convergence simple et la convergence uniforme}}}$$
Soit $$\sum_{n=0}^{+\infty} f_n$$ une série de fonctions définies sur un sous-ensembles de $$A$$ de $$\mathbb{R}$$ ou $$\mathbb{C}$$, à valeurs réelles ou complexes.
La fonction $$f_n$$ porte le nom de terme général de la série.
On désigne par $$(S_n)_{n \in \mathbb{N}}$$ la suite des sommes partielles de cette série. On pose $$S_n = \sum_{k=0}^{n} f_k$$.
$${\color{green}{\sphericalangle \,\, \textbf{Définition}}}$$
On dit que la série de fonctions $$\sum_{n=0}^{+\infty} f_n$$ est :
$$- \,\,$$ simplement convergente sur $$A$$ si la suite de fonctions $$(S_n)_{n \in \mathbb{N}}$$ est simplement convergente sur $$A$$ ;
$$- \,\,$$ uniformément convergente sur $$A$$ si la suite de fonctions $$(S_n)_{n \in \mathbb{N}}$$ est uniformément convergente sur $$A$$ ;
$$- \,\,$$ localement uniformément convergente si la suite de fonctions $$(S_n)_{n \in \mathbb{N}}$$ est localement uniformément convergente.
La limite de la suite de fonctions $$(S_n)_{n \in \mathbb{N}}$$ s'appelle la somme de la série $$\sum_{n=0}^{+\infty} f_n$$.
$${\color{green}{\sphericalangle \,\, \textbf{Définition}}}$$
On appelle reste d'ordre $$n$$ de la série de fonctions simplement convergente $$\sum_{n=0}^{+\infty} f_n$$, la fonction $$\sum_{k=n+1}^{+\infty} f_k$$.
On a les cinq théorèmes suivants :
$$\blacksquare \,\,$$ Soit $$\sum_{n=0}^{+\infty} f_n$$ une série de fonctions, définies sur un sous ensemble $$A$$ de $$\mathbb{R}$$ ou $$\mathbb{C}$$, à valeurs réelles ou complexes.
On suppose que la série $$\sum_{n=0}^{+\infty} f_n$$ converge simplement sur $$I$$ vers une fonction $$f$$ définie sur $$A$$ et à valeurs réelles ou complexes.
Pour que la série $$\sum_{n=0}^{+\infty} f_n$$ converge uniformément vers $$f$$ sur $$A$$, il faut, et il suffit, que la suite des restes converge uniformément vers $$0$$ sur $$A$$.
$$\blacksquare \blacksquare \,\,$$ Soit $$\sum_{n=0}^{+\infty} f_n$$ une série de fonctions, définies sur un sous ensemble $$A$$ de $$\mathbb{R}$$ ou $$\mathbb{C}$$, à valeurs réelles ou complexes.
Si la série de fonctions $$\sum_{n=0}^{+\infty} f_n$$ converge localement uniformément sur $$A$$ alors la somme de cette série est continue sur $$A$$.
$$\blacksquare \blacksquare \blacksquare \,\,$$ Soit $$\sum_{n=0}^{+\infty} f_n$$ une série de fonctions, définies sur un intervalle ouvert $$I$$ de $$\mathbb{R}$$, à valeurs réelles ou complexes.
On suppose que :
$$- \,\,$$ toutes les fonctions $$f_n$$ sont dérivables sur $$I$$ ;
$$- \,\,$$ la série de fonctions de terme général $$f_n$$ converge simplement sur $$I$$ ;
$$- \,\,$$ la série de fonctions de terme général $$f'_n$$ converge uniformément sur $$I$$.
Dans ce cas la somme $$\sum_{n=0}^{+\infty} f_n$$ est une fonction dérivable et sa dérivée est $$\sum_{n=0}^{+\infty} f'_n$$. La série $$\sum_{n=0}^{+\infty} f_n$$ converge uniformément sur toute partie bornée de $$I$$.
$$\blacksquare \blacksquare \blacksquare \blacksquare \,\,$$ Soit $$(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$$ une suite de fonctions, définies sur un intervalle $$[a\,;\,b]$$ de $$\mathbb{R}$$, à valeurs réelles ou complexes.
On suppose que les fonctions $$f_n$$ sont continues sur l'intervalle $$[a\,;\,b]$$ et que la série de fonctions $$\sum_{n=0}^{+\infty} f_n$$ est uniformément convergente sur intervalle $$[a\,;\,b]$$. Dans ce cas, on a :
$$\sum_{n=0}^{+\infty} \int_a^b f_n(x) \, dx = \int_a^b \left( \sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x) \right) \, dx$$
$$\blacksquare \blacksquare \blacksquare \blacksquare \blacksquare \,\,$$ Soit $$(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$$ une suite de fonctions, définies sur un intervalle $$I$$ de $$\mathbb{R}$$, à valeurs réelles ou complexes.
Les fonctions $$f_n$$ sont continues par morceaux et intégrables sur l'intervalle $$I$$.
On suppose que la série de fonctions $$\sum_{n=0}^{+\infty} f_n$$ est uniformément convergente sur intervalle $$I$$ vers une fonction $$f$$ continue par morceaux sur $$I$$, à valeurs réelles ou complexes.
On suppose que la série de nombres réels positifs $$\sum_{n=0}^{+\infty} \int_I | \, f_n(x) \, | \, dx$$ converge.
Dans ce cas, $$f$$ est intégrable sur $$I$$, et on a :
$$\int_I f(x) \, dx = \sum_{n=0}^{+\infty} \left( \int_I f_n(x) \, dx \right)$$
$${\color{blue}{\blacklozenge \,\, \textbf{La convergence normale}}}$$
Soit $$A$$ un sous ensemble de $$\mathbb{R}$$ ou $$\mathbb{C}$$.
Soit $$(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$$ une suite de fonctions, définies et bornées sur $$A$$, à valeurs réelles ou complexes.
On pose :
$$|| \, f_n \, ||_\infty = \underset{x \in A}{\sup} | \, f_n(x) \,|$$
$${\color{green}{\sphericalangle \,\, \textbf{Définition}}}$$
On dit que la série $$\sum_{n=0}^{+\infty} f_n$$ converge normalement sur $$A$$ si la série de nombres réels positifs $$\sum_{n=0}^{+\infty} || \, f_n \, ||_\infty$$ est convergente.
On a le théorème $$({\color{red}{\textbf{critère de Weierstrass}}})$$ suivant :
La série de fonctions $$\sum_{n=0}^{+\infty} f_n$$ converge normalement sur $$A$$ si et seulement s'il existe une suite de nombres réels positifs $$(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$$ telle que :
$$- \,\,$$ pour tout nombres entiers naturels $$n$$, $$|| \, f_n \, ||_\infty \leqslant a_n$$ ;
$$- \,\,$$ la série $$\sum_{n=0}^{+\infty} a_n$$ converge.
Le critère de Weierstrass est un critère de convergence normale. Pour les séries qui ne convergent pas absolument, on a le critère d’Abel suivant :
On a le théorème $$({\color{red}{\textbf{critère d'Abel}}})$$ suivant :
Soit $$(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$$ une suite de fonctions positives décroissantes qui converge uniformément
vers $$0$$. Soit $$(b_n)_{n \in \mathbb{N}}$$ une suite de fonctions telle que :
$$\forall n \in \mathbb{N}, \,\, \exists M \in \mathbb{R}, \,\, \forall x \in I, \,\, \left\vert \sum_{k=0}^{n} b_k(x) \right\vert \leqslant M$$
Ce qui signifie que la suite de sommes partielles de $$(b_n)_{n \in \mathbb{N}}$$ est bornée et les bornes sont indépendantes de $$n$$.
Dans ce cas la série $$\sum_{n=0}^{+\infty} \left(a_n(x) \, b_n(x) \right)$$ converge uniformément sur $$I$$.
La série de fonctions $$\sum_{n=0}^{+\infty} f_n$$ converge normalement sur $$A$$ si et seulement s'il existe une suite de nombres réels positifs $$(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$$ telle que :
$$- \,\,$$ pour tout nombres entiers naturels $$n$$, $$|| \, f_n \, ||_\infty \leqslant a_n$$ ;
$$- \,\,$$ la série $$\sum_{n=0}^{+\infty} a_n$$ converge.
Il est ESSENTIEL de conservé à l'esprit les deux résultats qui suivent :
$${\color{red}{\textbf{Théorèmes importants}}}$$ :
$${\color{red}{\blacktriangledown \,}}$$ Si la série de fonctions $$\sum_{n=0}^{+\infty} f_n$$ converge normalement sur $$A$$ alors elle converge uniformément sur $$A$$.
$${\color{red}{\blacktriangledown \, \blacktriangledown \,}}$$ En outre, toute série de fonctions qui converge uniformément sur $$A$$ est simplement convergente sur $$A$$.